Valaki aki nagyon jó az egyetemi matematikában tud segíteni?

1) y'(x) = 2y(x)·(1-2x)

Ez szétválasztható változójú diffegyenlet. Az azt jelenti, hogy át lehet alakítani úgy, hogy egyik oldalon legyenek az x-ek, a másikon az y-ok. Bele kell azt is érteni, hogy y' valójában dy/dx, vagyis van benne x is! Annak az x-nek (dx-nek) is a másik oldalra kell kerülnie.

dy/dx = 2y·(1-2x)

1/y · dy = 2(1-2x) dx

Most már szét vannak választva a változók. Mindkét oldal elejére kell egy integráljelet rakni:

∫ 1/y · dy = ∫ 2(1-2x) dx

és mindkét oldalt simán integrálni. A bal oldalt y szerint, a jobb oldalt x szerint.

ln y = 2(x - x²) + c

Oda kell figyelni, hogy egy konstans c is odakerül!

Ebből már kifejezhető az y függvény:

y = e^(2(x - x²) + c)

máshogy írva:

y(x) = k·e^(2(x - x²))

ahol k = e^c, egy másik konstans.

2) y'(x) - 4y(x) = e^3x

Ez nem választható szét. Inhomogén diffegyenletnek hívják. Attól inhomogén, hogy van olyan tag is benne, amiben nincs y.

Ugyanennek a homogén párja ez:

y'(x) - 4y(x) = 0

Ebben mindegyik tagban van y, ezt könnyebb megoldani. Az a mázli, hogy a homogén megoldása rávezet a teljes (inhomogén) megoldására is.

Szóval a homogén egyenlet megoldása: Ugyanazt csináljuk mint az első feladatnál, szétválasztjuk a változókat:

y' - 4y = 0

dy/dx = 4y

1/y · dy = 4 dx

∫ 1/y · dy = ∫ 4 dx

ln y = 4x + c

y = k·e^(4x)

Ez a homogén diffegyenlet általános megoldása.

Az inhomogén megoldásához találnunk kell egy partikuláris megoldást, és akkor az általános megoldás úgy jön majd ki, hogy összeadjuk a homogén általános megoldást és az inhomogén partikulárisat.

Alsó indexbe írt H illetve p betűvel szoktuk jelölni a homogén illetve a partikuláris megoldást: y_H és y_p módon írom itt, de azok alsó indexek.

A partikuláris megoldás sok esetben hasonló lesz, mint az inhomogén egyenlet jobb oldala:

y_p = C·e^(3x)

csak ki kellene találni, hogy mennyi a C.

Helyettesítsük be az eredeti egyenletbe:

(C·e^(3x))' - 4(C·e^(3x)) = e^(3x)

3C·e^(3x) - 4C·e^(3x) = e^(3x)

C = -1

Vagyis a partikuláris megoldás: y_p = -e^(3x)

Az inhomogén egyenletnek az általános megoldása:

y_ált = k·e^(4x) - e^(3x)

y(0) = 6 is a kérdés. Vagyis hogy milyen k esetén lesz ennyi az érték x=0-nál.

y(0) = k·e^(4·0) - e^(3·0) = k·1 - 1 = 6

k = 7

Tehát az a megoldás, amihez y(0)=6 tartozik:

y(x) = 7·e^(4x) - e^(3x)

3) Nem fejezted be a feladatot. Mi a kérdés?