Januártól kezdve minden hónap elején 10. 000 Ft-ot teszek a bankba, havi 0,5%-os kamatra. A havi kamatokat a bank külön számolja és csak a következő év elején tőkésíti. Mennyi pénzem lesz a második év végén? Hány év múlva lesz igy 2. 000. 000 Ft-om?

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1. év

1. hónap: új betét 10000 Ft, betét összege: 10000 Ft, kamata 10000 * 0,05 = 500 Ft

2. hónap: új betét 10000 Ft, betét összege: 20000 Ft, kamata 20000 * 0,05 = 1000 Ft

3. hónap: új betét 10000 Ft, betét összege: 30000 Ft, kamata 30000 * 0,05 = 1500 Ft

Tehát, a betét havonta 10000 Ft-tal nő, emiatt a havi kamat az 5%-ával, azaz 500 Ft-tal nő.

Az 1. év végi betétösszeg: 12*10000 Ft = 120000 Ft

A havonta azonos összeggel növekvő kamatok egy számtani sorozatot képeznek (a szomszédos tagok különbsége állandó), összegük a számtani sorozat összeg-képletével számolható: (2*500 + (12-1) *500)*12/2 = 39000 Ft.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

2. év

A következő év elején tőkésedik a kamat, tehát a betét (tőke) 120000+39000 = 159000 Ft lesz.

13. hónap: kamattal tőkésítéssel a betét 159000 Ft, új betét 10000 Ft, a betét összege: 169000 Ft, kamata 169000*0,05 = 8450 Ft

14. hónap: új betét 10000 Ft, betét összege: 179000 Ft, kamata 179000*0,05 = 8950 Ft

15. hónap: új betét 10000 Ft, betét összege: 189000 Ft, kamata 189000*0,05 = 9450 Ft

Tehát, a betét havonta továbbra is 10000 Ft-tal nő, emiatt a havi kamat az 5%-ával, azaz 500 Ft-tal nő.

A 2. évi betétösszeg: 12*10000 Ft = 120000 Ft

A havonta azonos összeggel növekvő kamatok egy számtani sorozatot képeznek (a szomszédos tagok különbsége állandó), összegük a számtani sorozat összeg-képletével számolható: (2*8450 + (12-1) *500)*12/2 = 134400 Ft.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1. év + 2. év

1. év befizetett összeg: 120000 Ft

1. év kamat: 39000 Ft

2. év befizetett összeg: 120000 Ft

2. év kamat: 134400 Ft.

Összesen: 120000 + 39000 + 120000 + 134400 = 413400 Ft.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

3. év?

Tőkésedik a 2. évi kamat is, azaz a tőke 413400 Ft lesz.

Ennek 5%-a: 413400*0,05 = 20670. Ez fog a havi 10000-es befizetések miatt havi 500 Ft-tal növekedni. A számtani sorozat képletével: (2*20670 + (12-1) *500)*12/2 = 281040 Ft lesz a 3. évi kamatok összege.

Az év eleji 413400 Ft-hoz jön 120000 Ft befizetés és ez a 281040 Ft kamat.

A 4. év elején tehát 413400+120000+281400 = 814800 Ft lesz a betét.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

4. év?

A betét 814800 Ft..

Ennek 5%-a: 814800*0,05 = 40740. Ez fog a havi 10000-es befizetések miatt havi 500 Ft-tal növekedni. A számtani sorozat képletével: (2*40740 + (12-1) *500)*12/2 = 521880 Ft lesz a 4. évi kamatok összege.

Az év eleji 814800 Ft-hoz jön 120000 Ft befizetés és ez az 521880 Ft kamat.

Az 5. év elején tehát 814800+120000+521880 = 1456680 Ft lesz a betét.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

5. év?

A betét 1456680 Ft.

Ennek 5%-a: 1456680*0,05 = 72834. Ez fog a havi 10000-es befizetések miatt havi 500 Ft-tal növekedni. A számtani sorozat képletével: (2*72834 + (12-1) *500)*12/2 = 907008 Ft lesz az 5. évi kamatok összege.

Az év eleji 1456680 Ft-hoz jön 120000 Ft befizetés és ez a 907008 Ft kamat.

A 6. év elején tehát 1456680+120000+907008 = 2483688 Ft lesz a betét.

Vagyis az 5. évben éri el a 2000000 Ft-os értéket.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−