Egy háromszög két oldalhossza 6 és 7, a szemközti szögek aránya 1:2. Mekkorák a szögek és a harmadik oldala?

Első körben rajzoljuk meg az ábrát; tudjuk, hogy nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van, ezért a 6-ossal szemben legyen Ł, ekkor a 7-essel szemben 2Ł lesz. Erre már fel tudjuk írni a szinusztételt:

sin(2Ł)/sin(Ł)=7/6

Az addíciós képletekből tudjuk, hogy sin(2Ł)=2*sin(Ł)*cos(Ł):

2*sin(Ł)*cos(Ł)=7/6

sin(Ł)-val egyszerűsítünk, majd osztunk 2-vel:

cos(Ł)=7/12, ezt számológéppel kiszámolva Ł=~54,31°, a másik szög 2*l=~108,62°. Mivel tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért a harmadik szög :180°-54,31°-108,62°=17,07°.

Mivel 2 oldal és mindhárom szög ismert, ezért az ismeretlen oldal hosszát akár a szinusz-, akár a koszinusztétellel is ki tudjuk számolni. Mivel pontosan tudjuk, hogy cos(~54,31°)=7/12, ezért ajánlom, hogy a koszinusztételt használjuk. Mivel ez a szög a 6-ossal van szemben, ezért a képletbeli c értéke 6 lesz, ebből a többi már könnyen kitalálható az ismeretlen oldal b):

6^2=7^2+b^2-2*7*b*cos(54,31°)

36=49+b^2-14*(7/12)*b

36=b^2-(49/6)*b+49 /redukáljuk a bal oldalt 0-ra

0=b^2-(49/6)*b+13 /érdemes 6-tal szorozni, hogy az együtthatók egészek legyenek)

0=6b^2-49b+78

Megoldóképlettel megoldjuk; b1=6, b2=13/6.

Az elején felhasználtuk azt a tételt, hogy nagyobb oldallal szemközt nagyobb szög van, viszont ennek a fordítottja is igaz; nagyobb szöggel szemközt nagyobb oldal van, tehát mivel 54,31°>17,07°, ezért 6>6, de ez nem igaz, tehát b1=6 megoldás a mi szempontunkból hamis gyök. Így b2=13/6 lesz a megoldás (mivel ez minden feltételnek megfelel), vagyis a harmadik oldal hossza 13/6 cm.