Teljes függvényvizsgálatban segítség?

(((> „Gondolom azt mondanom sem kell, hogy ez nem házi feladat.”

Nekem simán volt ilyen házi feladatom analízisből, szóval ez nyugodtan lehet házi feladat, de mindenképpen valami oktatással kapcsolatos dolog, ha van megoldókulcs.)))

> „csak a konvexitás és a monotonitás nem ment:”

De előtte az értelmezési tartomány és értékkészlet remélem, megvolt.

Aztán ugye arccos(y) deriváltja –1/sqrt(1 – y^2), ha y = 1/x, akkor meg 1/(x^2*sqrt(1 – 1/x^2)). Ha az x^2 egyik x-ét, négyzetre emelve beviszed a gyökjel alá, akkor elveszítesz egy előjelet, ezért szedi szét a megoldókulcs az x < 0 és x > 0 eseteket. Például x = –2-re:

1/((–2)^2*sqrt(1 - 1/(–2)^2)) ≠ 1/((–2)*sqrt((–2)^2 – 1)).

Szóval először ezt rontottad el.

Akkor most ugye a teljes függvényvizsgálatnál meg kell nézni, hogy ez hol lehet 0 (ugye lokális szélső érték csak ott vagy az értelmezési tartomány határánál lehet), meg hogy hol milyen az előjele (ebből meg a monotonitás következik).

> „f'(x)=-1/(x*sqrt(x^2-1) ha x<-1

> f'(x)=1/(x*sqrt(x^2-1)) ha x>1.”

A második deriválthoz elég az egyiket deriválni, a másik annak –1-szerese lesz. Nézzük az x > 1-et, mert ott eggyel kevesebb –-jel van.

f'(x) = x^(–1)*(x^2 – 1)^(–1/2) = –1/(x^2*sqrt(x^2 – 1)) + 1/x * (-1/2)/sqrt(x^2 – 1)^3 * (2*x) =

–1/(x^2*sqrt(x^2 – 1)) – 1/sqrt(x^2 – 1)^3 = -(sqrt(x^2 – 1)^2 + x^2)/(x^2*sqrt(x^2 – 1)^3) = (1 – x^2)/(x^2*sqrt(x^2 – 1)^3).

Szóval ezt meg elrontották. De arra kellett benne figyelni, hogy az sqrt(x^2 – 1)^2 = x^2 – 1 alakításnál az utolsó lépésben nem rontjuk el az előjelet, mert x^2 most mindenképpen nagyobb, mint 1 (még akkor is, ha x < 0).

Akkor előjel és zérushelyvizsgálat van hátra ezekre a cuccokra. (Természetesen végig figyelj az értelmezési tartományra és értékkészletre.)