1) Egy egyenlő szárú trapéz egyik alapjának hossza 15, egyik magassága 8 és egyik szöge 45 fok. Mekkora a területe? 2) Egy trapéz alap hosszai 24 és 18. Milyen arányban áll a trapéz területe kiegészítő háromszöge területével?

1) Ha egy trapéz egyenlő szárú, akkor az vagy szimmetrikus trapéz vagy paralelogramma. Ha szimmetrikus a trapéz, akkor a szárszögei azonosak. Legyenek a csúcsai az óramutató irányával ellentétesen a bal alsó saroktól kezdve A, B, C, D. A D csúcsból az AB nagyobb alapra állított merőleges talppontja legyen T. Az AT távolság (15-8)/2 = 3,5 a szimmetria miatt(rajzold le ha nem érted). A TAD szög 45 fokos, a DTA 90 fokos, így az ADT is 45 fokos. Tehát TAD egyenlőszárú háromszög; AT = DT = 3,5 = m(TD a trapéz magassága). Így a terület: T = (15+8)*3,5/2 = 40,25.

Ha szintén ugyanúgy betűzzük a trapézt, a kiegészítő háromszög csúcsa legyen E. Az E-ből a DC-re állított merőleges legyen m1, az AB-re legyen m2. A párhuzamos szelők tétele alapján: m1/m2 = DC/AB = 18/24 = 3/4.

m1 = 3/4*m2.

T(ABE) = 24*m2/2 = 12*m2

T(DCE) = 18*m1/2 = 9*m1

T(ABCD) = T(ABE) - T(DCE) = 12*m2 - 9*m1 = 12*m2 - 9*(3*m2/4) = 21*m2/4.

T(ABCD)/T(ABE) = (21*m2/4)/12*m2 = 7/16.

Szerintem a 2. feladat megoldása nem jó.

Ha

Tt - a trapéz területe

Tk - a külső háromszög területe

akkor

Tt/Tk = 7/9

Egy más gondolatmenettel készült megoldás.

[link]

Egy kis magyarázat az ábrához:

A belső háromszög

Ez nem hivatalos elnevezés, saját használatra találtam ki, mert jól kifejezi a lényegét.

Keletkezése: a CB szárat önmagával párhuzamosan eltolva úgy, hogy a C és D pont egybe essen. Ez ismert eljárás, csak a keletkezett háromszög nem kapott nevet. :-)

A keresztelő után a területek.

Látható, hogy a trapéz és a belső háromszög magassága megegyezik, ezért ha a trapéz magassága m,

akkor a belső háromszög területe

Tb = (a - c)m/2

Mivel a trapéz területe

Tt = (a + c)m/2

a két terület hányadosa

Tb/Tt = (a - c)/a + c)

A külső háromszög

Ez ismert fogalom, nem szorul magyarázatra.

Mivel hasonló a belső háromszöghöz és az arányossági méret a két háromszög alapja, ezért a területeik aránya

Tk/Tb = [(c/(a - c)]²

Van két hányadosunk a keresett arány meghatározásához:

1.) Tk/Tb = [(c/(a - c)]²

2.) Tb/Tt = (a - c)/(a + c)

Az 1.)-ből a külső háromszög területe

Tk = Tb[(c/(a - c)]²

A 2.)-ből a belső háromszög területe

Tb = Tt(a - c)/a + c)

Ezt a külső háromszög területképletébe behelyettesítve

Tk = Tt(a - c)/(a + c)*[(c/(a - c)]²

Ebből a keresett arány

Tk/Tt = (a - c)/(a + c)*[(c/(a - c)]²

Egyszerűsítés után

Tk/Tt = c²/[(a + c)(a - c)]

A nevező egy nevezetes szorzat, így a végeredmény

Tk/Tt = c²/(a² - c²)

=============

Látható, hogy a kérdés megválaszolásához nem szükséges egyetlen magasság sem, elég a két alap hosszát ismerni.

A feladatban ennek a reciproka szerepel, de remélem ez nem okoz gondot. :-)

DeeDee

**********