Egy derékszögű háromszög két hegyesszöge 30 fok és 60 fok, kerülete és területe egyenlő. Mekkorák az oldalai?

a 30-60 fokos derékszögű háromszög egy szabályos háromszög fele, ezért az oldalai x, gyök(3)*x, 2x

K = x * (3+gyök(3))

T= x^2 * gyök(3)/2

K=T egyenletet kell megoldani.

x * (3+gyök(3)) = x^2 * gyök(3)/2

6+2gyök(3) = x*gyök(3)

x = 6/gyök(3) + 2

x = 2*gyök(3) + 2

Helyes kis feladat! :-)

A terület és kerület mérőszámainak egyenlősége miatt

T = K

Bármely háromszög területére érvényes, hogy

T = r*s

ahol

r - a beírt kör sugara

s - a fél kerület

A fél kerület definíciójából

K = 2s

A kettő egyenlőségéből

r*s = 2s

r = 2

A derékszögű háromszögekben érvényes, hogy

2r = a + b - c

A megadott szögek alapján az átfogó a rövidebb befogó duplája, vagyis

c = 2a

Ezt behelyettesítve

2r = a + b - 2a

2r = b - a

A sugár ismert értékét behelyettesítve

b - a = 4

Mindkét oldalt négyzetre emelve

b² - 2ab + a² = 16

Mivel

a² + b² = c²

így

c² - 2ab = 16

A

b - a = 4

egyenletből a

b = a + 4

és a szögekből adódó

c = 2a

értékeket behelyettesítve

(2a)² - 2a(a + 4) = 16

A műveletek elvégzése majd összevonás és nullára rendezés után az

a² - 4a - 8 = 0

egyenletet kapjuk.

Ennek a pozitív gyöke a rövidebb befogó

a = 2(1 + √3)

======

Az átfogó ennek kétszerese

c = 4(1 + √3)

======

A másik befogó behelyettesítési értéke

b = a + 4

ebből

b = 2(1 + √3) + 4

Összevonás és kiemelés után

b = 2(3 + √3)

======

Tehát a háromszög oldalai:

a = 2(1 + √3)

b = 2(3 + √3)

c = 4(1 + √3)

Lehet ellenőrizni! :-)

DeeDee

**********