Matematika, oszthatóság és hatványok (? )

3^1=3

3^2=9

3^3=.7

3^4=.1

3^5=..3

3^6=..9 stb-stb, tehát látható, hogy 4 hatványonként ismétlődnek a végződések, vagyis 73-ban a 4 megvan 18-szor, marad az 1, tehát 73^73 végződése 3.

7^1=7

7^2=.9

7^3=..3

7^4=..1

7^5=...7 stb, itt is négyesével ismétlődnek a végződések. 37-ben a 4 megvan 9-szer, marad az egy, így a 37^37 végződése 7.

Ezek után már csak a fenti művelet szerint össze kell adni a végződéseket, ami 3+7=10, tehát 10-re végződik, így osztható 10-zel.

1397

1793

igen, osztható!

Az első válasz tökéles.

Kicsit máshogy:

73 = 70+3

Ha ezt valahanyadik hatványra emeljük, akkor minden tag osztható lesz 70-nel (és 10-el is persze) kivéve az utolsó.

Ezért ez ugyanannyi maradékot ad, mint 3^73.

3*3 = 9

3^73 = 3*9^36

9 helyett írhatunk -1-et, mert 9=10-1

3*(-1)^36 = 3.

Az első tag 3 maradékot ad.

A második taggal ugyanezt eljátszva:

7^37 = 7*49^18

49=50-1

7*(-1)^18 = 7

3+7 = 10, vagyis 10-el osztva 0 lesz a maradék.

Ez a módszer akkor jobb, ha nem ismétlődnek ciklikusan a maradékok.