Matek feladat: A házszámomnál kisebb házszámok összege megegyezik a házszámomnál nagyobb házszámok összegével. Hányas számú házban lakom, ha ez a legkisebb szóba jövő házszám?

Egy számtani sor két részösszegéről van szó.

A sor:

1, 2, 3, ..., k-1, k, k+1 ...n-2, n-1, n

A k előtti összeg

Se = (1 + k - 1)(k - 1)/2

Se = k(k - 1)/2

A k utáni összeg

Su = (k + 1 + n)(n - k)/2

A feladat szerint ezek egyenlőek

Se = Su

k(k - 1) = (k + 1 + n)(n - k)

Zárójel felbontás, összevonás, rendezés után

2k² = n² + n = n(n + 1)

Ebből

k² = n(n + 1)/2

Ennek (egy?) megoldása

n = 8

====

ahogy az első megoldásban szerepel.

Érdekes lenne tudni, hogy a találgatáson kívül van-e más megoldási módszer, valamint hogy van-e több megoldás; ha van, mik azok, ha nincs, miért nem lehet?

DeeDee

*******

DeeDee megoldása teljesen elegendő ehhez a feladathoz, de megtetszett a kérdés és elgondolkodtam rajta. Hány megoldás van?

Szóval ilyenek a megoldások:

k² = n(n + 1)/2

Ami átfogalmazva ez: Melyek azok a négyzetszámok, amik egyben háromszögszámok is?

A négyzetszámokat mindenki ismeri, a háromszögszámokat már ritkábban. A görögök szerették őket, pl. a pitegoreusok szent száma a 10 volt, ami a negyedik háromszögszám:

H(4) = 1+2+3+4 = 10

Látványra a négyzetszám egy olyan négyzet, aminek mindegyik oldala k kavicsból áll. A négyzetszám tehát ennyi kavics:

N(k) = k²

A háromszögszám pedig olyan egyenlő szárú derékszögű háromszög, aminek befogói k darab kavicsból állnak:

H(k) = k(k+1)/2

[link]

Az eléggé ismert dolog, hogy két egymást követő háromszögszám összege négyzetszám:

H(k) + H(k+1) = N(k+1)

Grafikusan: [link]

Nekünk most nem ilyesmi kell. Közelebb visz ez a másik érdekesség, ami viszont már kevésbé ismert: Egy háromszögszám nyolcszorosa eggyel kisebb egy négyzetszámnál:

8·H(k) + 1 = N(2k+1)

[link]

Vegyük a 8·H(k) -adik háromszögszámot:

H(8 H(k)) = 8 H(k) (8 H(k) + 1) / 2 = 4 H(k) (8H(k) + 1) = 4 · H(k) · N(2k+1)

Hoppá! A 4 négyzetszám, az N(2k+1) is persze, és ha a H(k) egyben négyzetszám is, akkor tudtunk generálni egy nagyobb háromszögszámot, ami négyzetszám is!

Mondjuk H(0)=0 vagy H(1)=1 egyben négyzetszámok is, utána jön a fenti képlettel H(8·1)=36, aztán

H(8·36) = 41616

H(8·41616) = 55420693056

stb.

Vagyis végtelen sok olyan négyzetszám van, ami egyben háromszögszám is.

Megjegyzés: A fenti képlet nem az összes ilyen számot generálja. Van jobb rekurziós képlet is, mondjuk a wikipédiát érdemes elsőre elolvasni:

[link]

Bongolo!

Reméltem, hogy nem kerüli el a figyelmedet ez a feladat!

Köszi a levezetést, a linkeket, külön örülök a grafikus ábráknak, tekintettel a vizuális alkatomra.

Cserébe küldök egy témába vágó linket, amit nemrég egy példa kapcsán tett fel valaki a GyK oldalára.

Ha te küldted volna, elnézést. :-)

[link]

DeeDee

**********