Kombinatorika, hányszor lehet 3-al osztható?

Egy háromjegyű szám akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal. Viszont az is igaz, hogy ha a számjegyek 3-as maradékainak összege osztható 3-mal, akkor a szám is osztható 3-mal. A következő esetek lehetnek:

1. eset: a számjegyek maradékai : 0; 0; 0, tehát a 3-jegyű számunk csupa 3-asból és 6-osból áll. Az első dobásra 2 lehetőségünk van, a másodikra is és a harmadikra is, így 2*2*2=8 3-mal osztható 6-jegyű szám képezhető.

2. eset: a számjegyek maradékai: 1; 1; 1; ebben az esetben ugyanaz a számolási mód, mint az 1. esetben, tehát 8-at fogunk kapni.

3. eset: a számjegyek maradékai: 2; 2; 2; itt is ugyanez a helyzet, 8 számot fogunk kapni.

4. eset: a számjegyek maradékai: 0; 1; 2. Elsőnek gyakorlatilag bármelyik számot dobhatjuk, így 6 lehetőség van az első számjegyhez. A másodikra már csak olyat dobhatunk, aminek a maradéka nem ugyanolyan, mint az elsőnek, így 4 szám jöhet szóba, az utolsó helyre az előző megállapítás miatt csak 2 szám kerülhet. Összesen tehát 6*4*2=48 számot számoltunk meg.

Más eset nem lehet, mivel a maradékok összegei más elrendezésben nem lesznek oszthatóak 6-tal.

Tehát 8+8+8+48=72 olyan szám van, ami megfelel a feltételeknek.

Ez egybeesett azzal az elgondolással, hogy "minden harmadik" szám jó lesz, ez azért (valljuk be) csak intuitív megoldás volt, viszont nem mindig jó az ilyen triviális meggondolás.