Hogyan igazoljuk teljes indukcióval az alábbi állítást? ∀n∈N, n>3: 3^n > n^3

Ha n = 4, akkor az állítás igaz, hiszen 3^4 = 81 > 64 = 4^3.

TFH k^3 < 3^k.

Vizsgáljuk az állítást (k + 1)-re.

3^(k + 1) = 3*3^k,

(k + 1)^3 = k^3 + 3*k^2 + 3*k + 1.

A feladat szerint k > 3, tehát 3*k^2 < k^3 és 3*k + 1 < k^3, tehát

(k + 1)^3 < k^3 + k^3 + k^3 = 3*k^3.

Ha a feltevésünket 3-mal szorozzuk:

3*k^3 < 3*3^k = 3^(k+1),

azaz készen vagyunk.