Elmagyarázná nekem valaki, hogy ezt a függvényt miért kell az ˇyˇtengelyre 3-mal feltolni?

az |x| fv lényegében azt jelöli, hogy az adott x értéked milyen messze van a számegyenesen a 0 ponttól (|x-y|= az x és y számok távolsága egymástól a számegyenesen, speciális |x|=|x-0|).

Hasonlóan |x-3| az x szám távolsága a 3tól a számegyenesen.

Tehát az f(x)= az x pont távolsága a 0 és 3 számoktól összeadva.

Ha az x szám valahol 0 és 3 között van, akkor ez a két távolság összege pont a 0 és 3 távolsága, ami 3, így itt az f(x) 3 lesz.

Ha az x szám kisebb, mint0 vagy nagyobb, mint 3, akkor a távolságok összege már nagyobb lesz mint 3, hizsen már csak az egyiktől is messzebb van, mint 3.

behelyettesíted x-et számokkal, pl

Ha x=2, akkor |x|+|x-3|= 2+1 = 3

Ha x=3, akkor |x|+|x-3|= 3+0 = 3

Ha x=4, akkor |x|+|x-3|= 4+1 = 5

Ebből derül ki, hogy ezek a pontok lesznek

x y

2 3

3 3

4 5

ebből már látszik a fele a rajznak, ha felrajzolod

Két V-alakú grafikont ,,adunk össze''.

Az egyik az |x| jólismert V alakú grafikonja, amelynek a csúcsa az origóban van.

A másik az |x-3| grafikonja, amely szintén egy V, de annek csúcsa az x tengely +3 pontján nyugszik. Szóval az eredeti V-grafikon +3 irányú (x mentén való) eltolásaképp kapjuk meg.

A két V összeadásából (ha közös koordinátarendszerben ábrázoljuk őket, egy jellegzetes W) elég jól kijön, miért is kapjuk az Általad megrajzolt ábrát.

Ezek után, gondolom, aza kérdés, hogy miért is van az, hogy az |x-3| grafikonjánál +3-ra tolódott az eredeti V-grafikon csúcsa, nem pedig mondjuk -3-ra, ami látszólag sokkal logikusabb lenne. Miért mozog pont az elelnkező irányba, mit várnánk?

Remélem nem értem félre kérdésed lényegét. Szóval az a sejtésem, hogy az a kérdésed lényege, hogy az

f(x-3)

alakú összetett függvények grafikonját miért az eredeti f grafikonjának x tengely mentén való POZITÍV irányú eltolásaképp kapjuk meg. Szóval miért pont ELLENTÉTES írányban? Persze ábrázolással ,,kijön'', de hogyan lehetne érzékletesen belátni, szóval hétköznapi szemlélettel?

Vagy akár fordítva is feltehetném a kérdést: az

f(x+3)

alakú összetett függvények grafikonját miért az eredeti f grafikonjának x tengely mentén való NEGATÍV irányú eltolásaképp kapjuk meg? Szóval itt is, miért pont ELLENTÉTES írányban? Persze ábrázolással ez is ,,kijön'', de itt is, hogyan lehetne érzékletesen belátni, szóval hétköznapi szemlélettel?

No szóval így értelmeztem a kérdésedet, ezért egyelőre így válaszolok.

Vegyünk egy akármilyen f függvényt. Most mindegy, hogy négyzetreemelés, abszolútérték, ...

lerajzolom a grafikonját

y = f(x)

Most nézzük az alábbi két másik grafikont:

f(x) + 3

f(x + 3)

És rajzoljuk fel ezek grafikonját is.

Az első esetben,

y = f(x) + 3

itt az kapott ábra olyan lesz, mintha az eredeti grafikont az y tengely mentén 3 egységgel feltoltam volna. Ezt könnyű belátni.

A második dolog már meglepőbb. Az f(x+3) grafikonja az x tengely mentén balra, (negatív irányban) mozdul el három egységgel. Az f(x-3) ábrája pedig (szintén az x tengely mentén) jobbra, a pozitív irányban tolódik el. Pont fordítva, ahogy első gondolatunkban várnánk.

Ahhoz, hogy ezt érzékletesen is belássuk, egy pillanatra gondoljunk a függvényekre úgy, mint gépekre, valamiféle ,,feldolgozó egységekre''. A bemeneti csövön bemegy valami, az valami szabály szerint fel lesz dolgozva, a termék pedig a kimenő csövön távozik.

Az f(x)+3 és f(x+3) abban érdekes, hogy itt tulajdonképen nem egyetlen ,,feldolgozó gép'' van, hanem kettő, és ezek épp úgy vannak egymásba dugaszolva, hogy az első gép kimenő csöve közvetlenül a második gépe bemenő csövébe önti a köztes terméket, majd a két gépet úgy nézzük, mintha egyetlen gép lenne.

Az f(x) + 3 esetben az első gép (az f) a bemeneten érkező ,,anyagra'' végrehajtja az f függvénynek megfelelő műveletet, és az így kapott eredményt adja ki kimenő csövén. E gép kimenő csövére azonban rögtön rá van dugaszolva egy másik gép (,,... + 3'' nevű gép), ez azt csinálja, hogy amit kap, ahhoz 3-at ad, és ezt a hárommal növelt értéket adja ki. Az f(x + 3) nem más, mit e két gépnek az ilyen sorrendben összedugaszolt együttese, ahol nem törődünk a belső részletekkel, csak az egészet együtt tekintjük.

Az f(x+3) esetben is ugyanez a két gép szerepel, de pont fordított sorrendben vannak összedugaszolva a gépek. Előbb hajtjuk végre az anyagon a ... + 3 gép ténykedését, majd erre dugaszoljuk rá, második feldolgozásképp, az f gépet.

Most képzeljük el, hogy az f függvény valami mozgást modellez. Például egy autó helyzetét, az idő függvényében. Megadom, hány óra telt el az indulás óta, és f pedig ebből megmondja, hogy az autó éppen melyik kilométerkőnél tartózkodik.

f(x) + 3 azt mondja meg, hogy hol lenne az autóm, ha helyzetéhez még 3 kilométer előrehaladást hozzáadnék. Kicsit életszerűbb körítéssel: ha az autóm hangos dudaszóval halad, és a dudaszót 3 kilométerrel előre lehet hallani, és autóm tényleges helye helyett inkább arra vagyok kíváncsi, hogy honnan lehet már már hallani autóm érkezését. Nem az érdekel, mikor érkezem meg a rokonokhoz, hanem az, hogy mikor tudják meg a rokonok, hogy tényleg jövök (mikortól kezdve már nem nyugtalankodnak).

A szituáció tulajdonképpen arról szól, hogy kocsim orra három kilométerrel hosszabb, lényegében háromkilométeres ELŐNYBEN vagyok.

Ha grafikonon is ábrázolom ezt a szituációt, itt elég jól érzékelhető, hogy valóban arról van szó, hogy az eredeti grafikon eltolódik az y tengely mentén 3 egységgel.

A második kérdés az érdekesebb. Gondolom, elsősorban erre irányult a kérdésed.

f(x+3) azt mondja meg, hogy hol lenne az autóm 3 órával későbbi időpillanatban. Életszerűbb körítéssel: útközben hirtelen rájövök, hogy egy rossz, későn járó óra szerint készítettem el a menetrendemet, és a valódi idő 3 órával több. Hogyan kell átértékelnem magamban a menetrendet?

Itt azt érdemes meglátni, hogy az egész szituáció tulajdonképpen arról szól, hogy háromórás késésben vagyok! Vagyis háromórás HÁTRÁNYBAN vagyok. Grafikusan ábrázolva, NEGATÍV (nem pedig pozitív!) irányba tolódik el az eredeti grafikon.

A ,,késő óra, új menetrend'' hasonlatom hibás. Nem késésről van szó, épp fordítva. Inkább időgépehez hasonlítható a helyzet. Kapok ajándékba egy időgépet, amely 3 órával ELŐRE a jövőbe repíti az életemet. Életem minden pillanatában az az esemény fog bekövetkezni, ami egyébként csak 3 óra múlva következnék be. Szóval ez az f(x + 3), a plusz szépen kifejezi, hogy az időgép ELŐRe visz a jövőbe..

Ez egyben azt is jelenti, hogy életem minden eseménye ugyanúgy fog bekövetkezni, mint ahogy egyébként is történnék, de három órával KORÁBBAN. Az időgép révén három órával előbb fogom megkapni az érettségit, három órával előbb leszek házas, három órával előbb születik gyerekem stb... Ez, ha életem valamiféle grafikonját elképzelem, azt jelenti, hogy életem eredeti grafikonjának minden egyes pontja 3 időegységgel ,,korábbi'' irányba (balra, negatív irányba) csúszik.

Persze ez csak hasonlat, igazából ezeket a dolgokat ábrán pontosan és tisztán lehet szemléltetni. f grafikonja (piros): az x₀ ponthoz az f(x₀) érték tartozik. f(x + 3) grafikonján (kék) az x₀-3 ponthoz az f(x₀-3+3), azaz f(x₀) érték tartozik. Tehát az f(x₀) magasságú pont a piros grafikonon az x₀ hely ,,fölött'' van, a kék grafikonon viszont az x₀-3 hely ,,fölött''. A kék grafikon származtatható a piros grafikonból, ha a pirosnak minden egyes pontját vízszintesen 3 egységgel balra, negatív irányba tolom el.