Ezeknek a feladatoknak mi a megfejtése, eredménye?

1. Tetszőleges n oldalú sokszögnek n*(n-3)/2 átlója van, és ezt nem is nehéz belátni; mindegyik csúcsból n-3 átló húzható (mivel a szomszédjaiba és önmagába nem megy átló), ezzel n*(n-3) átlót számoltunk meg, viszont mindegyik átlót megszámoltuk mindkét végpontján, vagyis kétszer számoltuk, ezért osztanunk kell 2-vel, így jön ki az n*(n-3)/2-es képlet (ez persze csak akkor igaz, ha n>2 egész, mivel a legkisebb csúcsszámú síkidom a háromszög).

Ezzel felírható az egyenlet; az átlók száma megegyezik az oldalak számával, vagyis

n*(n-3)/2=n /*2

n*(n-3)=2n /zárójelbontás

n*n-3*n=2n /-2n

n*n-5*n=0 /kiemelünk n-t

n*(n-5)=0

A bal oldalon egy szorzat van, a jobb oldalon 0, így akkor jutunk megoldáshoz, ha a szorzat valamelyik tényezője 0, így

vagy n=0, ez viszont nem lehet, mivel 0 oldalú sokszög nincs (de definiálhatjuk úgy, hogy az a "semmi", ennek 0 átlója van, tehát jó megoldást kaptunk).

vagy n=5, vagyis az ötszög lesz a megoldás (és igaz is; ha lerajzolod, meglátod).

2. Tetszőleges n oldalú (konvex) sokszögben a belső szögek összege 180°*(n-2). Ennek az az oka, hogy ha egy csúcsból kiindulva behúzzuk az összes átlót, akkor n-2 darab háromszögre bontjuk a sokszöget, és minden háromszögnek 180°a belső szögeinek összege, és mivel mindegyik háromszög mindegyik szöge valamelyik részszöge az eredeti síkidomnak, így megszámltuk a szögeket, pontosan 180°*(n-2).

Erre már felírható az egyenlet:

180°*(n-2)=3420° /:180°

n-2=19 /+2

n=21, vagyis a huszonegyszög lesz a megoldás.

3. A 2.)-ben tárgyaltak miatt

180°*(n-2)=4590° /:180°

n-2=25,5 +2

n=27,5, ez viszont nem jó megoldás, mivel "huszonhétésfélszög" nem létezik.

Ha arról van szó, hogy kétszer egymás után mindig az előző árhoz képest ugyanannyi százalékkal, akkor:

Az első emelés után az ára a terméknek: 98*x ezer Ft

A második emelés után az ára a terméknek: 98*x*x = 128 ezer Ft

98*x² = 128

x = √(128/98) = √1,3061224 = 1,1428571

98*1,1428571 = 112 ezer Ft