Hogyan kell levezetni az alábbi egyenleteket, egyenlőtlenségeket (középszint)?

A 3.)-hoz hasonló feladat ment néhány napja:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Ez alapján megy?

Nem nehezek ezek, talán a második az, amelyikhez kell egy kicsit gondolkodni, ezért ezt oldom meg:

Tekintsük úgy az egyenletünk bal oldalát, mint egy függvényt. Ekkor az egyenletmegoldás ekvivalens azzal, hogy ez a függvény milyen x értékekre vesz fel pozitív függvényértékeket. (vagy negatívakat, relációs jeltől függően).

Vagyis az egyenlet bal oldalán álló függvény értelmezési tartományának keressük azt az intervallumát, amikor a függvény az x tengely fölött (vagy alatt) van.

Látjuk, hogy a függvényünk szorzat alakban áll elő.

Ezért külön vizsgáljuk a két tényezőt:

1. tényező: (x^2-18x+77)

Alakítsuk teljes négyzetté:

(x-9)^2-4.

Vagyis ez egy felfelé nyíló parabola, melynek minimuma ("csúcsa") az x=9 helyen y=-4 értéknél van.

Beláthatóan a gyökök 7 és 11, vagyis az x=7 és az x=11 helyeken metszi az x tengelyt.

Ebből a következőket állapítjuk meg:

A parabola a ]7;11[ nyílt intervallumon negatív, és a

]-végtelen;7[ unio ]11;+végtelen[ intervallumon pozitív értékeket vesz fel.

Most vizsgáljuk a második tényezőt:

2.tényező: (gyökalatt:(10-x))

Ha a valós számkörben maradunk, úgy megállapíthatjuk, hogy ez a függvény ]-végtelen;+10] balról nyitott jobbról zárt intervallumban vesz fel valós értékeket. (Azaz ez az intervallum az értelmezési tartomány, valós függvényként való tekintéskor).

Azt is látjuk, hogy a teljes értelmezési tartományban pozitív, vagyis nem vált előjelet.

Ez igen fontos megállapítás, melynek következménye:

A két függvény szorzata esetén az előjel tekintetében a parabola lesz domináns.

A szorzatfüggvényre a következő megállapításokat tehetjük:

1. értelmezési tartomány: -végtelentől +10 ig.

2. +10 nél nagyobb számra nem értelmezett.

3. 7-nél kisebb számokra pozitív.

4. 7-ben és 10-ben zérus.

5. (7;11) nyílt intervallumban negatív.

Ezzel a példát meg is oldottuk.

Első:

Az alapötlet, hogy cos(2x)-et átírjuk egyszeres szögfüggvényre. Ez könnyen megtehető, hisz ismeretes az alábbi két azonosság:

cos^2(x)+sin^2(x)=1

cos^2(x)-sin^2(x)=cos(2x)

Összeadva a két egyenletet azt kapjuk hogy:

cos(2x)=2cos^2(x)-1

Ezt visszaírjuk az eredeti egyenletbe, így cos(x)-re nézve másodfokú egyenletet kapunk, ami már megy gondolom.

Négyesben:

Beszorzunk mindkét oldalon cos(x)-el, így a tg-ből sin lesz.

A cos^2-ek helyére beírjuk azt hogy 1-sin^2, vagyis sin(x)-re másodfokú az egyenlet, innentől megy.