Szükségem lenne segítségre az alábbi feladatoknál (? ) (főleg trigonometria)

Az elsőhöz ezeket érdemes megnézned:

[link]

Sok hasonlót találsz még itt:

[link]

Ugye így már megy?

A harmadikat és így gondolnám át:

[link]

Az egynél kisebb számok nagyobb hatványa a kisebb értékű, ezért szerintem pontosan 5 megoldása van.

4. A folyadékáram vagy töltési sebesség fordítottan arányos a töltési idővel, így írhatjuk rá:

1/7 + 1/x = 1/4

Ezt megoldva, (nem nehéz) -> x = 28/3

1. Az egyik legalapvetőbb trigonometrikus azonosság:

(sin(x))^2+(cos(x))^2=1

Ebből nekünk cos(x)=12/13, vagyis

(sin(x))^2+(12/13)^2=1 /-(12/13)^2=-(144/196)

(sin(x))^2=52/196 /gyökvonás

sin(x)=gyök(52)/13, és/vagy

sin(x)=-gyök(52)/13 (a gyökvonás miatt bejön a plusz-mínusz).

Ezt a két szinuszos egyenletet még meg kell oldanunk, hogy lássuk, hogy x benne lesz-e valahogyan a megadott intervallumban.

2. Tudjuk, hogy ctg(x)=1/tg(x), tehát:

tg(x)+1/tg(x)=m /*tg(x)

(tg(x))^2+1=m*tg(x) /-m*tg(x)

(tg(x))^2-m*tg(x)+1=0 /legyen tg(x)=k

k^2-m*k+1=0

Ez egy másodfokú parametrikus egyenlet, amit megoldunk:

k1=(1+gyök(m^2-4))/2

k2=(1-gyök(m^2-4))/2

Mivel a tg(x) függvény a (0;pí/2) intervallumon pozitív, ezért az első megoldás lesz nekünk a jó.

Innentől már csak ezt kell kiszámolnunk:

((1+gyök(m^2-4))/2)^2+1/((1+gyök(m^2-4))/2)^2= (ügyeljünk arra, hogy az (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 képlet alapján emeljünk négyzetre)

3. Vonjunk ki (cos(x))^4-nt:

(cos(x))^6-(cos(x))^4=0 /kiemelünk (cos(x))^4-nt)

(cos(x))^4*((cos(x))^2-1)=0

A bal oldalon egy szorzat van, ami csak akkor lesz nulla, ha az egyik tagja 0, vagyis vagy

(cos(x))^4=0, így cos(x)=0, tehát x=pí/2+k*pí (k tetszőleges egész),

vagy

(cos(x))^2-1=0, amire (cos(x))^2=1, erre tudjuk, hogy x=0+l*pí (l tetszőleges egész)

Már csak azt kell megnézni, hogy milyen k-kra és l-ekre esnek bele a megoldások az intervallumba:

0<=pí/2+k*pí<=2pí /:pí

0<=1/2+k<=2 /-1/2

-1/2<=k<=3/2, és mivel k egész, ezért ez akkor lesz igaz, ha k={0;1}.

0<=0+l*pí<=2pí /:pí

0<=l<=2, vagyis l={0;1;2}, tehát pontosan 5 megoldása van az egyenletnek a megadott intervallumon (ha jól gondolom ez feleletválasztós kérdés volt).

4. Az ilyen feladatokból olyanokat csináltatok, hogy ha pl. az egyik 3 óra alatt töltené meg magában, a másik 5 óra alatt, akkor együttesen mennyi idő alatt töltik meg? Ilyenkor az volt az elgondolás, hogy összevetjük, hogy időegység alatt mekkora részét töltik meg.

1 óra alatt az első az 1/3 részét, a másik az 1/5 részét tölti tele, együttesen 1/3+1/5=8/15 részét töltik meg. 2 óra alatt 2/3+2/5=16/15 részét (vagyis már túl is töltik). Ebben az esetben kicsivel könnyebb dolgunk van; adott, hogy az egyik csap 7 óra alatt tölti meg a csapot, viszont ha együtt eresztik a benzint, akkor 4 óra alatt tele lesz a tartály, vagyis ez a csap 4 órán keresztül fog folyni. 1 óra alatt 1/7 részét tölti meg, 4 óra alatt a 4/7 részét fogja megtölteni. Ez azt jelenti, hogy a másiknak 4 óra alatt a 3/7 részét kell megtöltenie. Tegyük fel, hogy a másik csap x óra alatt töltené tele a tartályt. A fenti logika alapján 1 óra alatt 1/x részét töltené meg, de mivel 4 órát folyik, ezért 4/x részét tölti fel, ez lesz egyenlő 3/7-del:

4/x=3/7 /reciprok

x/4=7/3 /*4

x=28/3, és x jelölte a teletöltéshez szükséges időt, tehát a másik csap 28/3 óra=9 óra 20 perc alatt tölti tele a tartályt, ha egyedül folyik a csap.