Felbonthatatlan számok = prímek?

Hivatalos definíció:

FELBONTHATATLAN: A p>=2 természetes számot felbonthatatlannak nevezzük, ha csak úgy bontható fel két szám szorzatára, hogy az egyik tényező maga a szám (ilyenkor a másik tényező 1, ilyenkor beszélünk triviális faktorizációról).

PRÍM: A p>=2 természetes számot prímnek nevezzük, ha valahányszor osztója egy szorzatnak, mindannyiszor osztója a szorzat valamelyik tényezőjének.

Az egész számok körében a prímek és a felbonthatatlan számok ugyanazok, viszont léteznek olyan algebrai struktúrák, ahol nem.

Ezek ismeretében a válasz: az 1 se nem prím, se nem felbonthatatlan, hiszen a definícióban eleve csak kettőnél nem-kisebb elemekről van szó. Az 1 úgynevezett multiplikatív egység, azaz rendelkezik azzal az egyedi tulajdonsággal, hogy bármit szorzunk vele, az nem változik.

A Gauss-egészek körében nem feltétlenül. Ahogy előttem írták, a felbonthatatlanság és a prímtulajdonság két különböző dolog, csak általános és középiskolában, miután csak a "hagyományos" számhalmazokra szorítkozunk, a kettő pont egybeesik. Az egy pedig egy eléggé speciális eset, tulajdonképpen vele és a 0-val nem szoktunk foglalkozni oszthatósági szempontból. Úgy szokás mondani, hogy az 1 triviális osztó, a 0 pedig triviális többszörös.

Példának okáért ha két szám közös osztóit keresed, eleve csak az 1-től különbözőeket keressük, és annak van megkülönböztetett értéke, ha ilyen nincs. De könnyedén lehet konstruálni olyan halmazokat, amikben a műveletek ugyanúgy működnek, mint eddig, és a két tulajdnoság elválik. Mondjuk legyen a halmazunk az a+b\sqrt{5} alakú számokból álló halmaz. Simán kiderül, hogy minden művelet itt marad, tehát ez egy jó halmaz céljainkra. (Ezeket egyébként gyűrűnek nevezik a számelmélészek.) A 11 prímszám, ez könnyen belátható, hiszen csak a b=k\cdot13 esetén lehet osztója egy számnak, és ekkor pedig az egészeknél megszokott prímsége jelentkezik. Ellenben próbáljuk szorzattá bontani! 11=(4+\sqrt{5})\cdot(4-\sqrt{5}), azaz nem felbonthatatlan! Hoppá!