Képen látható függvénynek mi az integrálja?

Azt érdemes észrevenni, hogy ami a számlálóban van, az a nevező belső függvényének (x²-nek) a deriváltja (majdnem).

Szóval ha f(x) = 1+x², akkor f'(x) = 2x

A tört x nélküli része pedig máshogy felírva: f(x)^(-1/3)

Na most f(x)^n deriváltja n·f(x)^(n-1)·f'(x)

Vagyis ha n-1 = -1/3, akkor már majdnem megvagyunk, persze a konstans szorzókat még rendbe kell rakni.

n = 1 - 1/3 = 2/3

1/2·3/2·(1+x²)^(2/3) deriváltja éppen x·(1+x²)^(-1/3), amit integrálni kell.

Na még egyszer, kicsit máshogy.

Ugye ezt kell integrálni:

  x·(1+x²)^(-1/3)

Észre kell venni, hogy az x egy konstanstól eltekintve éppen 1+x² deriváltja. Szóval ha f(x) = 1+x², akkor egyrészt f(x)-nek a hatványa van itt, valamint a deriváltja.

Aztán eszedbe kell jusson, hogy ha f(x)-nek az n-edik hatványát (f(x)^n) DERIVÁLJUK, akkor ezt kapjuk:

  n·f(x)^(n-1)·f'(x)

Vagyis ezt INTEGRÁLVA visszakapnánk f(x)-et.

A konstans szorzó nem izgalmas elsőre, annak kell örülni, hogy itt is azt látod, hogy egy függvény hatványa van megszorozva a deriváltjával.

Aztán ha ráilleszted ezt a mi függvényünkre, az derül ki, hogy n-1 lesz a -1/3, a hatvány kitevője.

Ez volt a kérdésed. Olvasd el párszor, amit írtam, be kell gyakorolni ezt a gondolkodásmódot az integráláshoz.