Adott a kepén látható feladat, valaki levezetné nekem hogyan kapom meg az eredményeket?

Mivel ez egy polinom, ezért mindenhol differenciálható, így deriválható is. Deriváljuk a tanultak alapján:

(2x^3+3x^2-120x-5)'=6x^2+6x-120

Ahol a derivált pozitív, ott az eredeti függvény (szigorúan) monoton növekvő, ahol negatív, ott csökken, ahol 0, ott szélsőértéke van.

Nézzük először azt, hogy hol lesz 0:

6x^2+6x-120=0 /:6

x^2+x-20=0

Megoldóképletből x1=-5 és x2=4

Nézzük meg, hogy a kapott x-eken milyen értékeket vesz fel az eredeti függvény:

x=-5: 2*(-5)^3+3*(-5)^2-120*(-5)-5=-250+75+600-5=420

x=4: 2*4^3+3*4^2-120*4-5=128+48-480-5=-309

Vizsgáljuk meg a függvény határértékét a végtelenben és a -végtelenben:

lim(x->-végtelen) 2x^3+3x^2-120x-5

Emeljünk ki x^3-öt: x^3*(2+3/x-120/x^2-5/x^3)

A szorzat első tagja -végtelenhez, a másik 2-höz tart (a tanultak alapján), így a függvény is -végtelenhez fog tartani.

Ez azt jelenti, hogy a (-végtelen;-5] intervallumon nőni fog a függvény (és végig nőni fog, mivel ha nem, akkor lenne valahol 0 a derivált értéke).

[-5;4] között csökkenni fog a függvény, mivel f(-5)>f(4), és ezen az intervallumon nem lesz sehol 0 a derivált értéke (csak a végpontokban).

A végtelenben vett határértéket ugyanazzal a kiemeléses módszerrel számítjuk ki, ekkor a végtelenbe tart a függvényünk, így a [4;végtelen) intervallumon nőni fog a függvény.

Mivel a függvény értékkészlete a teljes valós számok halmaza, ezért csak lokális szélsőértéke lehet a függvénynek, az is ott, ahol a derivált értéke 0 volt, vagyis -5-ben és 4-ben;

lokális maximumhely: x=-5, értéke: f(-5)=420

lokális minimumhely: x=4, értéke f(4)=-309.