Elérhető-e, hogy egy tetszőleges x^3 + ax^2 + bx + c polinomból alkalmas y = αx + β helyettesítéssel az elsőfokú, vagy a konstans tag tűnjön el?

... pontosabban x = αy + β

Mivel x³ együtthatója 1, ezért elég, ha x = y + β

A másodfokút a legegyszerűbb eltüntetni, mert nála csak egy magasabb fokú van, tehát csak azt kell kompenzálni. Nézzük:

(y+β)³ + a(y+β)² + b(y+β) + c

= y³ + 3βy² + 3β²y + β³ + a(y² + 2βy + β²) + b(y+β) + c

= y³ + (3β + a)y² + (3β² + 2aβ + b)y + (β³ + aβ² + bβ + c)

Eddig csak behelyettesítettem, most jön az eltüntetés:

- y² eltüntetése:

3β + a = 0

β = -a/3

Ennyi az egész. x = y - a/3 behelyettesítéssel eltűnik a másodfokú tag, és már kb. 500 éve kitalálták, hogy mi a megoldóképlet az y³+Ay+B = 0 egyenlethez.

- y eltüntetése:

3β² + 2aβ + b = 0

Ez már β-ban másodfokú egyenlet.

β = -a/3 ± √(a²/9 - b/3)

Nincs is mindig megoldása, csak ha a diszkrimináns pozitív, ha a²>3b

A nagyobb gond az, hogy hiába lesz y³+Ay²+C=0 alakú egyenletünk, erre önmagában nincs megoldóképlet.

- a konstans eltüntetése:

β³ + aβ² + bβ + c = 0

Itt meg az a gond, hogy ez β-ban harmadfokú... szóról szóra ugyanaz a polinom, ami az eredeti is volt. Szóval akkor tudjuk megoldani, ha ismerjük a harmadfokú megoldóképletet. Csöbörből vödörbe...