Egy kis vasárnap délutáni matek feladat?

(4x+3)(2x+2)=

(8x+7)

2

9

​

A változó (x) értéke nem lehet −

8

7

​

, mert nincs definiálva a nullával való osztás. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a következővel: (8x+7)

2

.

(4x+3)(2x+2)(8x+7)

2

=9

Binomiális tétel ((a+b)

2

=a

2

+2ab+b

2

) használatával kibontjuk a képletet ((8x+7)

2

).

(4x+3)(2x+2)(64x

2

+112x+49)=9

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (4x+3 és 2x+2), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

(8x

2

+14x+6)(64x

2

+112x+49)=9

A disztributivitás felhasználásával összeszorozzuk a kifejezéseket (8x

2

+14x+6 és 64x

2

+112x+49), majd összevonjuk az egynemű tagokat.

512x

4

+1792x

3

+2344x

2

+1358x+294=9

Mindkét oldalból kivonjuk a következőt: 9.

512x

4

+1792x

3

+2344x

2

+1358x+294−9=0

Kivonjuk a(z) 9 értékből a(z) 294 értéket. Az eredmény 285.

512x

4

+1792x

3

+2344x

2

+1358x+285=0

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke

q

p

​

formájú, ahol p osztója a(z) 285 állandónak, és q osztója a(z) 512 főegyütthatónak. Az összes lehetséges

q

p

​

listázása.

±

512

285

​

,±

256

285

​

,±

128

285

​

,±

64

285

​

,±

32

285

​

,±

16

285

​

,±

8

285

​

,±

4

285

​

,±

2

285

​

,±285,±

512

95

​

,±

256

95

​

,±

128

95

​

,±

64

95

​

,±

32

95

​

,±

16

95

​

,±

8

95

​

,±

4

95

​

,±

2

95

​

,±95,±

512

57

​

,±

256

57

​

,±

128

57

​

,±

64

57

​

,±

32

57

​

,±

16

57

​

,±

8

57

​

,±

4

57

​

,±

2

57

​

,±57,±

512

19

​

,±

256

19

​

,±

128

19

​

,±

64

19

​

,±

32

19

​

,±

16

19

​

,±

8

19

​

,±

4

19

​

,±

2

19

​

,±19,±

512

15

​

,±

256

15

​

,±

128

15

​

,±

64

15

​

,±

32

15

​

,±

16

15

​

,±

8

15

​

,±

4

15

​

,±

2

15

​

,±15,±

512

5

​

,±

256

5

​

,±

128

5

​

,±

64

5

​

,±

32

5

​

,±

16

5

​

,±

8

5

​

,±

4

5

​

,±

2

5

​

,±5,±

512

3

​

,±

256

3

​

,±

128

3

​

,±

64

3

​

,±

32

3

​

,±

16

3

​

,±

8

3

​

,±

4

3

​

,±

2

3

​

,±3,±

512

1

​

,±

256

1

​

,±

128

1

​

,±

64

1

​

,±

32

1

​

,±

16

1

​

,±

8

1

​

,±

4

1

​

,±

2

1

​

,±1

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

x=−

2

1

​

A faktorizációs tétel alapján a(z) x−k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 512x

4

+1792x

3

+2344x

2

+1358x+285 értéket a(z) 2(x+

2

1

​

)=2x+1 értékkel. Az eredmény 256x

3

+768x

2

+788x+285. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

256x

3

+768x

2

+788x+285=0

A Rolle-féle gyöktétel alapján, a polinom összes racionális gyöke

q

p

​

formájú, ahol p osztója a(z) 285 állandónak, és q osztója a(z) 256 főegyütthatónak. Az összes lehetséges

q

p

​

listázása.

±

256

285

​

,±

128

285

​

,±

64

285

​

,±

32

285

​

,±

16

285

​

,±

8

285

​

,±

4

285

​

,±

2

285

​

,±285,±

256

95

​

,±

128

95

​

,±

64

95

​

,±

32

95

​

,±

16

95

​

,±

8

95

​

,±

4

95

​

,±

2

95

​

,±95,±

256

57

​

,±

128

57

​

,±

64

57

​

,±

32

57

​

,±

16

57

​

,±

8

57

​

,±

4

57

​

,±

2

57

​

,±57,±

256

19

​

,±

128

19

​

,±

64

19

​

,±

32

19

​

,±

16

19

​

,±

8

19

​

,±

4

19

​

,±

2

19

​

,±19,±

256

15

​

,±

128

15

​

,±

64

15

​

,±

32

15

​

,±

16

15

​

,±

8

15

​

,±

4

15

​

,±

2

15

​

,±15,±

256

5

​

,±

128

5

​

,±

64

5

​

,±

32

5

​

,±

16

5

​

,±

8

5

​

,±

4

5

​

,±

2

5

​

,±5,±

256

3

​

,±

128

3

​

,±

64

3

​

,±

32

3

​

,±

16

3

​

,±

8

3

​

,±

4

3

​

,±

2

3

​

,±3,±

256

1

​

,±

128

1

​

,±

64

1

​

,±

32

1

​

,±

16

1

​

,±

8

1

​

,±

4

1

​

,±

2

1

​

,±1

Keresünk egy ilyen gyököt úgy, hogy az összes egész értékkel próbálkozunk, az abszolút érték szerinti legkisebbel kezdve. Ha nincs találat egész gyökökre, törtekkel próbálkozunk tovább.

x=−

4

5

​

A faktorizációs tétel alapján a(z) x−k minden k gyök esetén osztója a polinomnak. Elosztjuk a(z) 256x

3

+768x

2

+788x+285 értéket a(z) 4(x+

4

5

​

)=4x+5 értékkel. Az eredmény 64x

2

+112x+57. Megoldjuk az egyenletet úgy, hogy 0 legyen az eredménye.

64x

2

+112x+57=0

Minden ax

2

+bx+c=0 alakú egyenlet megoldható a másodfokú egyenlet megoldóképletével:

2a

−b±

b

2

−4ac

​

​

. Behelyettesítjük a(z) 64 értéket a-ba, a(z) 112 értéket b-be és a(z) 57 értéket c-be a megoldóképletben.

x=

2×64

−112±

112

2

−4×64×57

​

​

Elvégezzük a számításokat.

x=

128

−112±

−2048

​

​

Nincs megoldása az egyenletnek, mert az egyik negatív szám négyzetgyöke nincs definiálva a valós számok mezőjében.

x∈∅

Listát készítünk az összes lehetséges megoldásról.

x=−

2

1

​

x=−

4

5