Hogyan kell megoldani?
Van öt feladat matekból a kombinatorika témakörből, az első 3-at sikerült megoldanom, az utolsó kettőt sajnos nem. Segítenétek ellenőrizni az els ő hármat és megoldani az utolsó 2-őt?
1.) Egy budapesti, egy vidéki és egy külföldi barátunknak szeretnénk két-két képeslapot küldeni úgy, hogy egyikük se kapjon két egyforma lapot. Hányféleképpen thetjük ezt meg, ha a boltban, ahol vásárolunk, összesen 8féle képeslap kapható?
Megoldás: szerinte ez kombináció(kiválasztási probléma) és nem ismétléses ezért (8 alatt a 2)a harmadikon =21952
2.)Hányféleképpen állhat fel n fiú és n lány egy sorba úgy, hogy se két fiú se két lány ne álljon egymás mellett?
Megoldás: szerintem n*n*(n-1)*(n-1)..... vagy (n!)^2 .
3.)Hány olyan különböző téglalap van a síkon, amelynek minden oldala párhuzamos az x, illetve az y tengellyel, továbbá csúcsainak mindkét koordinátája 1 és n közötti egész szám?
Megoldás: szerintem végtelen sok ilyen téglalap van, de egyáltalán nem vagyok biztos benne.
4.) Hányféleképpen oszthatunk szét 52 lapos franciakártya-csomagot 4 játékos között úgy, hogy mindenki 13 lapot kapjon, továbbá a legidősebb játékosnak pontosan 2 ászz és 5 treff jusson? (Egy csomag franciakártya 4 színből( pikk, káró, treff, kör) tartalmaz színenként 13 lapot: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, bubi, dáma, király, ász.)
Megoldás: csak addig jutottam, hogy ez egy kiválasztási probléma azaz kombináció és ismétlés nélküli.
5.) Fényképészhez szeretnénk két n hosszúságú sorba felállítani 2n különböző magasságú embert, úgy hogy az első sor egyetlen tagja se takarja azt, aki a második sorban mögötte áll (vagyis a második sor minden tagja legyen magasabb az éppen előtte állónál). Hányféleképpen lehetséges ez?
Szerintem ez is kombináció, de nem tudtam elindulni.
Előre is köszönöm a segítséget!:)
válasza:Az 5.-et sajnos én sem tudom megoldani. A többi négyre közlöm a választ.
1. Jó a megoldás!
2. Majdnem jó, csak azt nem vetted figyelembe, hogy az első helyen fiú is, lány is állhat, és ekkor persze nem ugyanaz a helyzet. Tehát kétszer annyi, mint amit Te írtál.
3. Az n függvényében kell megoldani. Igazából akkor tudnék jól érthető választ adni, ha rajzban is tudnám mutatni.
Tehát a kérdés végül is az, hogy van egy négyzet a koordináta rendszerben (az első, pozitív-pozitív negyedben), aminek a bal alsó csúcsa (1;1), a jobb felső pedig (n;n), és ebbe összesen hány olyan téglalap írható, amelyeknek koordinátái egész számok, és párhuzamosak a négyzet oldalaival, vagy éppen azokon fekszenek? (Természetesen maga a nagy négyzet is ezek közül az egyik.)
Toljuk le a négyzetet úgy, hogy a bal alsó csúcsa az origó legyen, a jobb felső ez által (n-1;n-1) lesz.
Vizsgáljuk most a (0;0) és (0; n-1) végpontú szakaszt. Ezen n-1 db 1 egység hosszúságú kis szasz van. n-2 db 2 egység hosszú, n-3 db 3 egység hosszú, stb.. Tehát összesen (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 = n*(n-1)/2 db szakasz vehető fel rajta.
Ugyanígy a (0;0) és (n-1; 0) végpontú szakaszon is.
Így aztán (n*(n-1)/2)^2 db olyan téglalap van, ami a feltételeknek megfelel.
4. Két eset van attól függően, hogy az első játékos treff ászt kap-e, vagy két olyan ászt, amelyek között nincs treff.
Az első esetben: (1 alatt az 1)*(3 alatt az 1)*(12 alatt a 4)*(36 alatt a 7)*(39 alatt a 13)*(26 alatt a 13)*(13 alatt a 13). Ugyanis az egy treff ászból csak egyféleképpen lehet önmagát kiválasztani, a másik háromból (3 alatt az 1)-féleképpen lehet a másik ászt kiválasztani, aztán a 12 db olyan treffből, amelyek között nincs az ász, (12 alatt a 4)-féleképpen lehet 4 darabot kiválasztani, és még 36 lapból kell kiszedni 7 darabot. Aztán már a többi három játékos jön.
A második esetnél a magyarázatot rád bízom, csak az esetszámot írom le: (1 alatt a 0)*(3 alatt a 2)*(12 alatt az 5)*(36 alatt a 6)*(39 alatt a 13)*(26 alatt a 13)*(13 alatt a 13).
Ezt a két esetszámot még összegezni kell, hogy megkapjuk a végeredményt.
További kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!