Valaki lenne olyan kedves, és megoldaná ezt nekem?

Tehát a feladat:

(log(2)[2x])^2=log(2)[x^2/2]+3.

Vegyük át a logaritmus azonosságait:

I. Azonos alapú logaritmusok összege egyenlő argumentumaik szorzatának logaritmusával: log(a)[b]+log(a)[c]=log(a)[b*c]

II. Azonos alapú logaritmusok különbsége egyenlő az argumentumaik hábnyadosának logaritmusával: log(a)[b]-log(a)[c]=log=(a)[b/c]

III. Ha egy logaritmust egy másik értékkel szorzunk, akkor a szorzat értéke egyenlő az argumentum az értékkel való hatványozásának logaritmusával: k*log(a)[b]=log(a)[b^k]

Akkor lássuk:

(log(2)[2x])^2=log(2)[x^2/2]+3. /I.

(log(2)[2]+log(2)[x])^2=log(2)[x^2/2]+3 /log(2)[2]=1

(1+log(2)[x])^2=log(2)[x^2/2]+3 /zárójelbontás

1+2*log(2)[x]+(log(2)[x])^2=log(2)[x^2/2]+3 /kicsit átírjuk a jobb oldalt:

1+2*log(2)[x]+(log(2)[x])^2=log(2)[x^2*(1/2)]+3 /I.

1+2*log(2)[x]+(log(2)[x])^2=log(2)[x^2]+log(2)[1/2]+3 /log(2)[1/2]=-1

1+2*log(2)[x]+(log(2)[x])^2=log(2)[x^2]+-1+3 /összevonás

1+2*log(2)[x]+(log(2)[x])^2=log(2)[x^2]+2 /III.

1+2*log(2)[x]+(log(2)[x])^2=2*log(2)[x]+2 /legyen log(2)[x]=n

1+2*n+n^2=2*n+2 /-2n

1+n^2=2 /-1

n^2=1 /gyökvonás

n=1 és n=-1.

Ha n=1, akkor log(2)[x]=1, amire x=2.

Ha n=-1, akkor log(2)[x]=-1, amire x=1/2.

Ellenőriztem, szóval a megoldások helyesek (4=4 és 0=0).

Remélem minden érthető :)