Hányféle olyan négyszög van, amelyeket egyik átlójuk 2 egyenlő szárú derékszögre vág szét?

Az elsőnek nincs igaza...

Először is vegyük végig, hogy milyen négyszögek vannak:

Négyzet

Téglalap

Rombusz

Paralelogramma

Trapéz

Deltoid

Négyzet: az biztosan jó lesz, mivel ha szétvágjuk az a oldalú négyzetet egyik átlója mentén, akkor két olyan háromszöget kapunk, aminek 2 oldala a, tehát 2 egyenlő szárú háromszög keletkezik.

Téglalap: a téglalap oldalai legyenek a és b, ekkor az átló hossza gyök(a^2+b^2) Pitagorasz tétele miatt. Mivel ha a=b, akkor négyzetet kapunk, ezért ezek nem lehetnek egyenlők. Az átfogó egyik befogóval sem lehet egyenlő; tegyük fel, hogy mégis, ekkor

a^2+b^2=a^2 egyenletet kapnánk, amire b^2=0, tehát b=0, b viszont nem lehet 0, mivel egy téglalap oldala.

Tehát a téglalap nem jó megoldás.

Rombusz: a rombusszal ugyanaz a helyzet, mint a négyzettel, két a-oldalhosszú háromszögeket kapunk, így azok egyenlő szárúak lesznek.

Paralelogramma: itt is legyenek az oldalak a és b. Húzzuk be az átlót, itt már annyira nem egyértelmű, hogy az átló lehet-e egyenlő hosszú az egyik oldallal vagy nem. Ha már valaki ismeri a koszinusztételt, akkor könnyen ki tudja számolni, hogy ahhoz, hogy az átló egyenlő hosszú legyen a b oldallal, ahhoz y (gamma) közbezárt szög mellett a hosszának 2*b*cos(y) hosszúnak kell lennie. Ebben az esetben úgy kapjuk meg a keresett háromszögeket, hogy maga az átló lesz az egyik szár, minkét háromszög esetén. Más különben a paralelogrammára nem igaz.

Trapéz: a paralelogramma speciális trapéz, így létezik olyan trapéz, amire igaz az állítás. Elképzelhető, hogy paralelogrammától független trapéz is létezik, amire igaz, viszont ahhoz is trigonometrikus ismeret szükséges.

Deltoid: amikor felrajzoljuk a deltoidot, akkor az oldalakat 2 darab a-val és 2 darab b-vel szoktuk jelölni. Ha behúzzuk a nemszimmetriaátlót, akkor a-hosszú és b-hosszú szárú háromszögeket kapunk. Ez abban az esetben van így, ha a és b nem egyenlőek, mivel az már rombusz, ott mindkét átlóra igaz lesz. Persze ez konvex és konkáv deltoidra egyaránt igaz.