Mi a válasz ezekre a kérdésekre? Sehol nem találtam az interneten és a matekkönyvemben sem. Az a gond az a lecke, hogy mindegyikhez el kell magyarázni majd órán részletesen mi a válasz hogyan csináltam, de sajna meg se tudtam ezeket csinálni.

1)

Rajzolj egy egyenlő szárú háromszöget, aminek nagyjából 36 fokos a csúcs-szöge. Olyan, mint ezen az ábrán a bal oldali háromszög:

[link]

Az alapon fekvő szögek 72 fokosak, ezt ugye meg tudod mutatni?

Ha megfelezed ezt a 72 fokos szöget, 36 fokot kapsz. Ezt mutatja a jobb oldali ábra.

Most mutasd meg, hogy a keletkező kis háromszögnek a harmadik szöge szintén 72°, ez ugye könnyen megy. A kis háromszögnek ugyanakkorák a szögei, mint az eredeti nagynak, vagyis a két háromszög hasonló.

Nevezd el a nagy háromszög alapját a-nak, a kis háromszög alapját pedig b-nek (oldalt). Mindhárom kétszeresen áthúzott szakasz a, így a nagy háromszög oldalai a+b hosszúak.

A hasonló háromszögek oldalainak aránya egyforma:

a/b = (a+b)/a

Ez pedig pont az aranymetszés: a/b = Φ

Az ötszög meg a tízszög úgy jön ide, hogy azokban is 36 meg 72 fokos szögek vannak: A tízszög köré írt kört ha megrajzolod, és a középpontot összekötöd a tízszög csúcsaival, akkor kapsz 10 kis háromszöget. A csúcs-szög pedig 360°/10 = 36°, vagyis ez a kis háromszög pont az, amit az előbb néztünk. Ebből indulj ki.

Az már kiderült, hogy a szabályos tízszög köré írható kör sugara és a tízszög oldala aranymetszésben van:

r/a = Φ = (√5 + 1)/2

vagy fordítva:

a/r = 1/Φ = (√5 - 1)/2

a = r·(√5 - 1)/2

Ekkora hosszú szakaszt kell szerkeszteni, és ezzel a körben ki tudod metszeni a tízszög oldalát.

Biztos tanultatok ilyet szerkeszteni, mondjuk lehet úgy, hogy kiindul az ember az r-ből, aztán lesz r·√2 egy derékszögű háromszög átfogójaként, aztán r·√3 egy újabb derékszögű háromszöggel, stb. egészen √5-ig. Itt egy ábra hozzá:

[link]

Ami az ábrán 1, annak kell lennie az r sugárnak.

Vagy ha nem akarsz ilyen sok merőlegest szerkeszteni, akkor csinalhatod eggyel is, de ehhez nem találtam ábrát:

Az r hosszú szakasz egyik végébe merőlegest szerkesztesz és felméred rá az r-et kétszer (2r hosszat). Aztán behúzod a háromszög átfogóját, a pitagorasz tétel szerint ilyen hosszú lesz: √(r² + (2r)²), ami r·√5.

Utána ebből körzővel levonod az r hosszat, lesz r·(√5-1), majd megfelezed, kész.