A háromszög oldalaira: a^2*b^2+c^4=b^4+a^2*c^2. Bizonyítandó, h a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú!?

Az egyszerűbb felírás miatt vezessük be ezeket az ismeretleneket:

x = a²

y = b²

z = c²

Ezekkel ez lesz:

x·y + z² = y² + x·z

z² - y² = x·(z - y)

(z-y)(z+y) = x(z-y)

(z-y)(z+y - x) = 0

Ennek megoldásai azok, ahol a zárójeles kifejezések valamelyike nulla:

a) z-y = 0     → z₁ = y

b) z+y-x = 0 → z₂ = x - y

Visszaalakítva ezeket az a,b,c ismeretlenekre, a két megoldás ez lesz:

a) c² = b²

Mivel a háromszög oldalai pozitív számok, ez azt jelenti, hogy c=b, vagyis a háromszög egyenlő szárú.

b) c² = a² - b²

Átrendezve:

a² = b² + c²

Ami egy derékszögű háromszögre a Pitagorasz tétel.

Vagyis megoldás egy olyan derékszögű háromszög is, ahol az átfogó 'a', a befogók b és c.