Miként végezzük el ezt a teljes függvényvizsgálatot: x+4/x?

Értelmezési tartomány: R\{0} (0-val nem osztunk)

Értékkészlet: írjuk fel a következő egyenletet:

x+4/x=c, ahol c konstans. Rendezzük x-re a feladatot; szorzunk x-szel:

x^2+4=cx /-cx

x^2-cx+4=0

Másodfokú egyenlet megoldóképletét felírjuk:

x1;2=(c±√(c^2-4))/2

A gyökjel alatt nem leget negatív szám, vagyis

c^2-4≥0, c^2≥4, ebből vagy c≥2 vagy -2≥c, más különben nincs megoldása az egyenletnek, tehát a függvény értékkészlete: R\]-2;2[

Zérushely: nincs (lásd fent).

Szélsőérték: ehhez szükségünk van a határértékekre:

lim(x->-végtelen) x+4/x

x -végtelenhez tart, 4/x 0-hoz, ezért a határérték -végtelen.

lim(x->végtelen) x+4/x=végtelen (lásd. fent a gondolatmenetet).

Deriváljuk a függvényt:

(x+4/x)'=x'+(4/x)'=1+4*(x^(-1))'=1-4*x^(-2)=1-4/x^2

Szélsőértéke ott lehet a függvénynek, ahol a derivált értéke 0:

1-4/x^2=0 /+4/x^2

1=4/x^2 /*x^2

x^2=4, erre x=2 és x=-2. Ezeket helyettesítsük be az eredetibe:

2+4/2=4

-2-4/2=-4

Mivel végtelenekben a határérték végtelen és -végtelen, ezért ezek csak lokális szélsőértékek lehetnek.

Függvény konvexitása: a második deriváltból tudjuk meg, hogy hol konvex és hol konkáv a függvény.

(1-4/x^2)'=1'-4*(x^(-2))'=0+8*x^(-3)=8/x^3

Ahol ez pozitív, ott a függvény konvex:

8/x^3>0, ez akkor teljesül, ha x^3>0, vagyis x>0 .

Ahol negatív, ott konkáv:

8/x^3<0, vagyis x<0

Ahol egyenlő 0-val, ott egyszerre konvex és konkáv, abban a pontban az egyikből másikra vált;zt inflexiós pontnak nevezzük:

8/x^3=0, ez pedig nem teljesül, tehát a függvénynek nincs inflexiós pontja.

Az értelmezési tartományt ezzel négy intervallumra oszthatjuk:

Ha x eleme a ]-végtelen; -2] intervallumnak, akkor a függvény szigorúan monoton nő.

Ha x eleme a [-2;0[ intervallumnak, akkor szigorúan monoton csökken.

Ha x eleme a ]0;2[ intervallumnak, akkor szigorúan monoton csökken.

Ha x eleme a [2;végtelen[ intervallumnak, akkor szigorúan monoton nő.

Innen már csak a függvény ábrázolása van hátra (sematikus ábrázolás a kiszámolt adatok alapján).