Az ABCD háromszögben a C csúcsnál 120°-os belső szög van. Tükrözzük a C csúcsot az A pontból és a B pontból induló belső szögfelezőkre, a tükörképek jele legyen C1 és C2! Mekkora a C1CC2 szög?

Ez egy nagyon szép feladat. (Remélem, nem verseny-feladat!)

A C pontnak "bárhol" lehet a helye, mindig teljesül, hogy

[link]

Nagyon szemléletes a mozgatható ábra, de szerintem ez nem bizonyítás. :-)

Legyen

α - az A csúcsnál levő szög

ß - a B csúcsnál levő szög

φ1 - a C-C1-C2 szög

φ2 - a C-C2-C1 szög

Ezekkel

Az A-C1-C háromszögből

φ1 = (180 - α)/2

Ugyanekkora az A-C-C1 szög is, mert az A-C-C1 háromszög egyenlő szárú.

A B-C2-C háromszögből

φ2 = (180 - ß)/2

Ugyanekkora B-C-C2 szög is, mert a B-C-C2 háromszög egyenlő szárú.

A C-C1-C2 háromszög belső szögeire

δ + φ1 + φ2 = 180

behelyettesítve

δ + (180 - α)/2 + (180 - ß)/2 = 180

Összevonás után

2δ = α + ß

ill.

δ = (α + ß)/2

Az ABC háromszögből

α + ß = 180 - γ

Ezt az előző képletbe helyettesítve

δ = (180 - γ)/2

===========

tehát a keresett szög csak a C csúcsnál levő szögtől függ!

A példában

γ = 120°

így

δ = (180 - 120)/2

δ = 30°

=====

DeeDee

***********