Koordináta-geometria, trigonometria, segítség?

Jó későn raksz fel ilyen sok feladatot...

1)

A kör egyenlete másodfokú. Egy egyenes két pontban metszheti, ez a másodfokú egyenlet(rendszer) két gyöke. Amikor érinti, akkor csak 1 pontban metszi, vagyis csak egy megoldás van. Ez viszont azt jelenti, hogy a másodfokú egyenlet(rendszer) diszkriminánsa nulla.

Az egyenletrendszer egyenletei persze a kör valamint az egyenes egyenlete. A metszéspontban mindkét egyenlet teljesül, ezért lesz belőlük egyenletrendszer.

A megoldásuk: Tudjuk, hogy y=x+p, ezt helyettesítsük be a kör egyenletébe y helyébe:

x² + (x+p)² − 6x + 4(x+p) + 9 = 0

x² + x²+2px+p² − 6x + 4x+4p + 9 = 0

2x² + (2p−2)x + (p²+4p+9) = 0

Ennek a diszkriminánsa:

D = b²−4ac = (2p−2)² − 4·2·(p²+4p+9)

D = 0:

(2p−2)² − 4·2·(p²+4p+9) = 0

4p²−8p+4 − (8p²+32p+72) = 0

p² − 2p + 1 − 2p² − 8p − 18 = 0

−p² − 10p − 17 = 0

p² + 10p + 17 = 0

Ennek a megoldását a megoldóképlettel már rád bízom.

Igen, én is ezzel küszködtem, most van két példány a megoldásról:

[link]

Az utolsó aranyos.

Ha sin x = 1, akkor cos x = 0, és ezért ekkor a bal oldal éppen 2. Vagyis ez tuti megoldás. (Más megoldás valószínű nincs, de ezt bizonyítani is kellene... hagyjuk ilyen éjszaka.)

Szóval sin x = 1

x = π/2 + 2kπ

k ∈ ℕ

Bongolonak megint igaza van:

[link]