Valaki kiszámítaná levezetéssel ezt az integrált?

Parciális integrálással megy, ahol:

    f ' = 1

    g = arccos(2x/(1+x²))

vagyis

    f = x

    g ' = -1 / √(1 - (...)²) · (...)' = .. ezzel kell egy kicsit bajlódni: (Itt (...)-tal jelöltem a 2x/(1-x²)-et)

A gyökös rész a nevezőben:

  √(1 - (...)²) = √( (1 + 2x² + x⁴ - 4x²) / (1+x²)² )

  = √( (1-x²)² / (1+x²)² )

ha |x| < 1, akkor = (1-x²)/(1+x²)

ha |x| > 1, akkor = (x²-1)/(1+x²)

Ennek még a reciproka meg mínusz egyszerese kell!

(...) deriváltja:

  [ 2x/(1+x²) ] ' = 2((1+x²) - 2x²) / (1+x²)² = 2(1−x²) / (1+x²)²

vagyis ha |x| < 1, akkor

g ' = [ (x²+1) / (x²-1) ] · 2(1-x²) / (1+x²)² = -2 / (1+x²)

Ha |x| > 1, akkor

g ' = [ (x²+1) / (1 - x²) ] · 2(1-x²) / (1+x²)² = 2 / (1+x²)

Szóval a parciális integrálással itt tartunk:

x · arccos(2x/(1+x²)) - ∫ x · (±2) / (1+x²) dx

Ahol a ± akkor +, ha |x|>1, egyébként mínusz.

A második tag integrálása most könnyű, hisz a számláló (vagyis a 2x) a nevezőnek a deriváltja, ha az előjeltől eltekintünk. Azt pedig tudjuk, hogy ∫ h' / h dx = ln h + C

Szóval ez lett:

x · arccos(2x/(1+x²)) ± ln(1+x²) + C

ahol a ± akkor pozitív, ha |x|<1, egyébként negatív.