Z^8-2z^4+2=0 Megoldás?

A villamosmérnökök j-nek írják, ti matekórán biztos i-nek írtátok.

Aztán még ⁴√t kiszámolása is hátra van! Mind a két t értékkel el kell végezni. Átalakítod trigonometrikus alakra (szög és hossz), abból tudsz gyököt vonni, ahogy tanultátok.

(egyébként nem delta a -4, hanem determináns...)

A megoldóképletből ez jön ki:

t₁₂ = (2 ± 2i)/2

t₁₂ = 1 ± i

Mindig érdemes elképzelni a komplex számot a számsíkon. A valós része 1, a képzetes +1 vagy -1. Vagyis az egyik jobbra fel, a másik jobbra le van, 1-1 "kockával". A hossza mindkettőnek az egységoldalú négyzet átlója, vagyis √2, a szöge pedig az egyiknek 45°, a másiknak -45°.

Hivatalosan a hosszat Pitagorasz tétellel kell kiszámolni:

t = a + b·i

|t| = √(a²+b²), most √(1²+1²) = √2

a szög:

α = arc tg (b/a), most arc tg 1, ami 45°

Ebből kell negyedik gyököt vonni. Az úgy megy, hogy a hossznak venni kell a negyedik gyökét, az lesz a szám hossza. A szögnek meg venni kell a negyedét, az lesz a szám szöge.

Ez a lényeg, de picit azért bonyolultabb. Ugyanis a szög nem csak 45°-ként jó, hanem ha hozzáadunk 360 fokot, az is ugyanaz a pozíció lesz a komplex számsíkon. Vagyis 360+45=405° is lehet a szög. Meg akárhányszor hozzá lehet adni még 360°-ot a végtelenségig, az mind jó. Ha pedig gyökvonáskor a szöget negyedeljük, az így alakul:

                 szög   negyed

45+0·360 = 45°     11,25°

45+1·360 = 405°   101,25°

45+2·360 = 765°   191,25°

45+3·360 = 1125°  281,25°

45+4·360 = 1485°  371,25°     hoppá, ez már több, mint 360°. Pont 11,25°-kal több, ami az első volt. Vagyis míg az előző 4 mind más szám volt a komplex számsíkon, ez már megegyezik az elsővel. Ha néznénk a többi 360°-kal nagyobbnak a negyedét is, azok is már mind az első négy közül valamelyik lenne. Vagyis elég csak az első négyet kiszámolni.

Ugyanezt meg kell tenni az (1-i)-vel is. A hossza annak is √2, aminek a negyedik gyöke ⁸√2. A szög -45°, aminek a negyedei:

                  szög   negyed

-45+0·360 = -45°   -11,25°

-45+1·360 = 315°  78,75°

-45+2·360 = 675°  168,75°

-45+3·360 = 1035° 258,75°

nem kell tovább menni.

Még annyit érdemes megcsinálni, hogy ne lógjon ki az az egy negatív szám, hogy a -11,25°-nak is a pozitív párját írjuk fel. Ha hozzáadunk 360-at, az 348,75°, és az is ugyanazt a komplex számot jelenti.

Persze negatívként is jó, sőt, csinálhattuk volna úgy is, hogy a negyedelés előtt nem hozzáadunk 360°-ot, hanem levonunk belőle 360, 720, 1080 fokokat. Akkor a -45 fokú komplex szám negyedik gyökei -11,25°, -101,25°, -191,25° és -281,25° szögűek lettek volna. Persze azok se más számok, hisz ha hozzáadunk a szögekhez 360°-ot, megkapjuk a fenti pozitív szögeket (csak más sorrendben).

Szóval a fenti nyolcféle szög lesz a ⁸√2 hosszúságú komplex szám szöge, amik az eredeti egyenlet 8 megoldását adják.

Ha végül trigonometrikus alakban írjuk fel, akkor ezek a megoldások:

z₁ = ⁸√2·(cos 11,25° + i·sin 11,25°)

z₂ = ⁸√2·(cos 78,75° + i·sin 78,75°)

z₃ = ⁸√2·(cos 101,25° + i·sin 101,25°)

z₄ = ⁸√2·(cos 168,75° + i·sin 168,75°)

stb., nem írom ide a többi négyet.