Emelt matek (szinusz, koszinusztétel) feladatokban valaki segítene?

1. A háromszög területe kiszámolható kétféleképpen; egyrészt 3*12*sin(2Ł)/2=18sin(2Ł) (azért 2Ł, hogy ezt tudjuk felezni), másrészt 12*3*sin(Ł)/2+3*3*sin(Ł)/2=45sin(Ł)/2, ez a kettő egyenlő:

18sin(2Ł)=45sin(Ł)/2

sin(2Ł)-ra ismerjük a képletet: 2*sin(Ł)/cos(Ł):

18*2*sin(Ł)*cos(Ł)=45sin(Ł)/2 /mivel Ł a háromszög egy 90°-nál kisebb szöge, ezért sin(Ł) értéke nem lesz 0, ezért azzal oszthatunk:

36*cos(Ł)=45/2 /:36

cos(Ł)=45/72=0,625

Számológéppel Ł=51,32°. Innen a többi adat kiszámolható szinusztétellel.

Akkor nem is írom tovább:

[link]

Valóban annyi az alfa, mint a válaszoló írta.

Függvénytáblázat: Kétszeres szögek szögfüggvényei.

sin (2 alfa)=..

Itt láthatod, bizonyítást hozzá százával találsz a neten:

[link]

A sin(2Ł)-t és a cos(2Ł)-t nem árt, ha megjegyzed, mert sok helyen előjöhet (ha meg tétel lesz emelten, akkor meg pláne, mivel kell a bizonyítása is).

Sokat gondolkoztam rajta, mire rájöttem, de megvan! :) :

Legyen a súlyvonal és a szemközti oldal hajlásszöge Ł, ekkor a másik háromszögben 180°-Ł nagyságú szög lesz (kiegészít szög). Legyenek az ismeretlen oldalak a és b, ekkor felírhatunk 2 koszinusztételt a két háromszögre:

a^2=4^2+10^2-2*4*10*cos(Ł)

b^2=4^2+10^2-2*4*10*cos(180°-Ł)

Tudjuk, hogy cos(180°-Ł)=-cos(Ł) (lásd. egységkörös-vektorforgatós kép; az első negyed szögének (Ł) koszinusza pozitív, a II negyedben (180°-Ł) szög koszinusza pontosan az ellentéte az I. negyedbelinek), ezért a második egyenlet átírható:

b^2=4^2+10^2+2*4*10*cos(Ł)

A két egyenletet összeadva kiesik az a csúnya koszinuszos tag:

a^2+b^2=4^2+10^2+4^2+10^2=232, tehát

a^2+b^2=232, amire

a=gyök(232-b^2), így a két ismeretlen oldal b és gyök(232-b^2). Így a nagy háromszögre még egy koszinusztételt felírhatunk:

8^2=232-b^2+b^2-2*gyök(232-b^2)*b*cos(41,68°)

64=232-2*gyök(232-b^2)*b*0,7469 /:2

32=116-0,7469*gyök(232-b^2)*b /-116

-84=-0,7469*gyök(232-b^2)*b /:(-1)

84=0,7469*gyök(232-b^2)*b /négyzetre emelés

7056=0,55785961*(232-b^2)*b^2 /:0,55785961; zárójelbontás

12648,34=232b^2-b^4 /+b^4-232b^2

b^4-232b^2+12648,34=0

Ez egy másodfokúra visszavezethető egyenlet; legyen b^2=x, ekkor

x^2-232x+12648,34, megoldóképletből:

x1=(232+56,84)/2=144,42 és x2=87,58, ezeket visszaírva

(b1)^2=144,42, vagyis b1=12, ebből a1=9,38

(b2)^2=87,58, vagyis b2=9,36, ebből a2=12,01

Ezeknek "keresztben" egyenlőknek kellene lennie, vagyis b1=a2 és b2=a1, ez azért nincs így, mert a kerekítéssekkel elcsúsztak, de annak is örülhetünk, hogy közel annyik lettek az eredmények (hibahatáron belül), tehát jól számoltunk.

Így már tudjuk a háromszög oldalait; 8; 12; 9,38; és az ilyen háromszöget már középszinten is illik megoldani, ezért nem számolom tovább; ha jól gondolom, ezekkel az adatokkal már fog tovább menni :)

Ha valami nem tiszta, írj csak :)