1) Bizonytsuk be teljes indukcioval az alabbi alltast:[12p] 1/1 *
2+1/2*
3+ .

+1/n (n + 1) =n/n + 1, hogyan kell megcsinálni?

Teljes indukcióval; n=1-re

bal oldal: 1/(1*2)=1/2

jobb oldal: 1(1+1)=2, tehát 1-re igaz.

Tételezzük fel, hogy n-ig tudjuk. Nézzük meg, hogy n+1-re mi a helyzet:

bal oldal: "1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n*(n+1))"+1/((n+1)*(n+2))

jobb oldal: (n+1)/(n+1+1)=(n+1)/(n+2)

A ""-ös részről tudjuk, n/(n+1)-gyel egyenlő (ez volt az indukciós feltétel), ezért ezt a részt lecseréljük erre:

bal oldal: n/(n+1)+1/((n+1)*(n+2))

jobb oldal: (n+1)/(n+2)

Ezek egy egyenlet két oldalai, ezért

n/(n+1)+1/((n+1)*(n+2))=(n+1)/(n+2)

Egyenletet kell megoldanunk. Látható, hogy a közös nevező (n+1)*(n+2):

(n(n+2))/((n+1)(n+2))+1/((n+1)(n+2))=((n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))

Eltüntetve a nevezőt:

n(n+2)+1=(n+1)(n+1) /zárójelbontás

n^2+2n+1=n^2+2n+1, vagyis azonossághoz jutottunk.

Ezzel bizonyítottuk az öröklődést, és mivel n tetszőleges pozitív egész volt, ezért tetszőleges pozitív egészre igaz lesz a fenti egyenlőség.

Íme:

[link]