Lehet-e ilyen eljárás végén a) 2000 b) 2001 pont az egyenesen? Ha valamelyik lehet, akkor annál mennyi volt a lehetséges legkisebb kezdőszám?

Kísérletezzünk;

vegyen fel az első 2-t, ekkor a második csak 1-et tud. A következő már 2-t, az azutáni 4-et, utána 8-at, és így tovább. Ebben az esetben a második gyerektől kezdve a k-dik gyerek 2^(k-2) pontot tud felvenni, így 2+2^0+2ˇ1+2^2+...+2^(k-2) pontot vesznek fel összesen.

Ha az elején 3 pontot vettek volna fel, akkor a fenti felvételeket már két helyen tudnák megvalósítani, vagyis kétszer annyit, mint az előbb, 4 pontnál már háromszoros lenne, ... 2≤n pont esetén n-1-szer tudnák ugyanezt az eljárást végigcsinálni, ekkor összesen

n+(n-1)(2^0+2^1+...+2^(k-2)) pontot raknának fel. A szorzat második tagja egy mértani sorozat, aminek kezdőtagja 1, quotiense 2, az utolsó tag k-2 indexű, ezért felírható zárt alakban:

2^0+2^1+...+k^(k-2)=1*(2^(k-2)-1)/2-1=2^(k-2)-1, így rövidebben n+(n-1)(2^(k-2)-1) pontot vettek fel a gyerekek (2≤k gyerek esetén).

Kérdés, hogy ez mikor lesz egyenlő 2000-rel és 2001-gyel.

a) n+(n-1)(2^(k-2)-1)=2000, rendezzük k-ra az egyenletet /-n

(n-1)(2^(k-2)-1)=2000-n /:(n-1)

2^(k-2)-1=(2000-n)/(n-1) /hatványozás azonosság miatt 2^(k-2)=(2^k)/4

(2^k)/4-1=(2000-n)/(n-1) /+1=(n-1)/(n-1)

(2^k)/4=1999/(n-1) /*4

2^k=7996/(n-1)

A bal oldalon 2-hatvány van, a jobb oldalon egy tört. A tört akkor lesz egyenlő a 2-hatvánnyal, ha 7996-ot egy megfelelő számmal osztjuk; ahhoz, hogy ez a megfelelő számot megtudjuk, fel kell írnunk prímtényezős felbontásban a 7996-ot:

7996|2

3998|2

1999|1999

1

Tehát a felbontás: 2*2*1999, vagyis akkor lesz csak egyenlő a 2-hatvánnyal, ha osztjuk 1999-cel, vagyis n-1=1999, így n=2000. Tehát a triviális megoldáshoz jutottunk, vagyis az első gyereknek 2000 pontot kell felpakolnia és kész is a feltétel, így a kezdőpontok száma 2000. Nézzük mi a helyzet a 2001-gyel:

n+(n-1)(2^(k-2)-1)=2001 /-n

(n-1)(2^(k-2)-1)=2001-n /:(n-1)

2^(k-2)-1=(2001-n)/(n-1) /hatványozás azonosság miatt 2^(k-2)=(2^k)/4

(2^k)/4-1=(2001-n)/(n-1) /+1=(n-1)/(n-1)

(2^k)/4=2000/(n-1) /*4

2^k=8000/(n-1), most a 8000-et kell felírnunk prímtényezős alakban:

8000|2

4000|2

2000|2

1000|2

500|2

250|2

125|5

25|5

5|5

1

Tehát 8000=2^6*5^3, vagyis akkor lesz egyenlő a tört értéke a 2-hatvánnyal, ha elosztjuk 125-tel (lehetne 250-nel, 500-zal, stb. is osztani, de most mi arra hajtunk, hogy n a lehető legkisebb legyen). Ekkor n-1=125, vagyis n=126, így 126 pontot kell felvenni legalább, hogy 2001 pontot össze tudjanak kreálni, ebből már az is kiszámolható, hogy hány gyerekre van szükség:

2^k=8000/125=64=2^6, vagyis 6 gyerekre lesz szükség.

Ellenőrzés: 126+125*(2^(6-2)-1)=126+125*15=126+1875=2001.