Konvergens-e a (2+1/n) ^n sorozat?

(2+1/n)^n > 2^n, ez pedig nem konvergens, mert bármilyen nagy pozitív egész A számra minden n > A-ra 2^n > A.

Szóval nem konvergens.

Emeljünk ki 2-t: (2(1+1/(2n))^n=2^n*(1+1/(2n))^n

Azt tudjuk, hogy 2^n a végtelenbe tart. Ha a másik tag valami 1-nél nagyobb számhoz tart, akkor elmondhatjuk, hogy ez a szorzat a végtelenbe fog tartani.

(1+1/(2n))^n határértéke:

legyen 2n=a, ekkor n=a/2 lesz, így a sorozat alakja: (1+1/a)^(a/2)

A hatványozás azonosságai alapján átírható így: ((1+1/a)^a)^(1/2)

Tudjuk, hogy (1+1/a)^a határértéke e, így a fenti határértéke e^(1/2), vagyis négyzetgyök(e). Tehát az eredeti sorozat végtelen*négyzetgyök(e) alakú, vagyis határértéke végtelen lesz.