Miért ilyen a megoldás? (matek,10. o)

Ha így nem megy, akkor megoldod egyenként a másodfokú egyenleteket a megoldóképlettel, megkapod a gyököket, majd behelyettesíted az (x-x1)*(x-x2) képletbe, ez a szorzat adja ugyanis vissza az eredeti másodfokú egyenletet.

Ha megvan, akkor már csak egyszerűsíteni kell.

A matekban az a jó, hogy nagyon sok megoldás létezik. Mindenki olyat tud magának választani, amilyet csak akar.

Szorzattá alakítás vagy másodfokú megoldó képlet? Én azt mondom, hogy amelyiket előbb meglátod a feladatban!

Amennyiben a szorzattá alakítást egyáltalán nem látod, megosztok veled néha a szorzattá alakítási tippet, ami nagyon gyorsan megy, amennyiben az x^2-es tag együtthatója 1. Ezért a szorzattá alakításhoz van néhány tippem, remélem nem gond, ha megosztom. Lehet, tetszeni fog.

[ 1. tipp ]:

Amennyiben az x^2-es tag együtthatója 1, és nem látjuk meg benne a teljes szorzatot ...

x^2 - 5x + 6

Keressük azokat a számokat, ahol

a két szám összege az x-es tag együtthatója: // -5

a két szám szorzata a szabad tag: // +6

ez a két szám: // 1, -6, tehát: (ezt néhány példa megoldása után készség szinten jön)

x^2 - 5x + 6 =

= (x + 1)(x - 6)

[ 2. tipp ]:

Amikor nem látjuk elsőre az összeg és a szorzat alakokat az együtthatókban, valamint az x-es tag együtthatója páros (és négyzetes tag együtthatója 1).

Észrevesszük a "teljes négyzetet" ("a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2"), majd korrigálunk a maradék, mínuszos tag gyökével az "a^2 - b^2 = (a + b )(a - b)" képlettel.

A fenti feladatban erre könnyen számítható példa, ezért: vegyük alapul ezt: x^2 - 20x + 91

(x^2 - 20x + ??) ebből lesz a teljes négyzet?

(x - 10)^2 = (x^2 - 20x + 100) // mivel a 100 nincs benne az eredeti kifejezésbe, ezért azt kivonjuk, remélve, hogy ezzel egy negatív számot kapunk!

x^2 - 20x + 91 =

= [ x^2 - 20x + 100 ] - 100 + 91 =

= (x - 10)^2 - 100 + 91 =

= (x - 10)^2 - 9 =

= (x - 10)^2 - 3^2 =

= (x - 10 + 3)(x - 10 - 3) =

= (x - 7)(x - 13)

Ha ezt begyakorlod gyorsabban is mehet:

x^2 - 20x + 91 = // x-es tag felének a négyzetét levonom a teljes négyzet beillesztése után

= (x - 10)^2 - 100 + 91 =

= (x - 10)^2 - 9 = // fejben látszik, hogy a 9 = 3^2, ezért a 3-at levonom, és hozzáadom a teljes négyzetben szereplő szorzatokhoz

= (x - 7)(x - 13)

[ 3. tipp ]:

Persze lehet, hogy nem kapunk szép eredményt, mert gyökös szám lesz ott, de ekkor is tudunk vele operálni:

x^2 - 20x + 93 =

= [ x^2 - 20x + 100 ] - 100 + 93 =

= (x - 10)^2 - 100 + 93 =

= (x - 10)^2 - 7 = // hétnek nincs egész gyöke, ezért gyök[7]-el számolunk tovább

= (x - 10)^2 - gyök[7]^2 =

= (x - 10 + gyök[7])(x - 10 - gyök[7])

Az ax² + bx + c = 0 másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjáról van itt szó. A Viète-formuláknak itt nincs szerepük.

a·(x-x1)·(x-x2) = 0 ez a gyöktényezős alak

"a" az eredeti egyenletben lévő együttható, az x² együtthatója.

x az ismeretlen, marad x-nek változatlanul.

x1 és x2 a másodfokú egyenlet gyökei.

Pl. 10x² - 13x - 3 polinom. Ugyanúgy vannak gyökei, mint egy másodfokú egyenletnek. Megoldóképlettel:

a = 10

b = -13

c = -3

x1;2 = (13+/-gyök(100-4·10·(-3))) / (2·10) = (13+/-17) / 20

x1 = -4/20 = - 1/5

x2 = 30/20 = 3/2

10·(x+1/5)(x-3/2) = 5(x+1/5)·2(x-3/2) = (5x+1)(2x-3)