Hogyan kell áttérni más alapú logaritmusra?

Én úgy jegyeztem meg, hogy a "nagy szám megy fölülre, a kicsi alulra", itt a kicsi és nagy azt jelenti, hogy a logaritmus alapját "kisebb" számmal írod, pl. a log(10)[3]-nál a 10-est kicsiben írod, így pl. ennek az 5-ös alapú logaritmusa így fog kinézni: log(10)[3]=log(5)[3]/log(5)[10].

Ha ezt nem tudod megjegyezni, akkor van egy ennél kicsivel hosszabb számítási mód (nem mellesleg ennek az átírásnak a bizonyítása is). Maradjunk a példánál; ha log(10)[3]=k, akkor definíció szerint 10^k=3 egyenlet megoldása lesz. Most vegyük mindkét oldal tetszőleges alapú (x) logaritmusát; megtehetjük, mert a logaritmusfüggvény szigorúan monoton (növő vagy csökkenő az alaptól függően) (persze a kikötést nem sértheti), tehát

log(x)[10^k]=log(x)[3] /3. azonosság: log(a)[b^k]=k*log(a)[b]

k*log(x)[10]=log(x)[3] /:log(x)[10]

k=log(x)[3]/log(x)[10]

Mivel k=log(10)[3], ezért

log(10)[3]=log(x)[3]/log(x)[10], és ha megnézed, a képlet alapján átírt érték ugyanaz, mint ami most kijött.

Összeadásnál és kivonásnál csak akkor lehet az azonosságot használni, ha azonos alapon vannak, ehhez pedig a fent leírt módok egyikén át kell váltani azonos alapú logaritmusra, például:

log(1/6)[2]+log(36)[144]=.

Vegyük észre, hogy az alapok 6-hatványok, ezért érdemes áttérni 6-os alapú logaritmusra mindkét esetben:

log(1/6)[2]=log(6)[2]/log(6)[1/6]=log(6)[2]/(-1)=-log(6)[2]

log(36)[144]=log(6)[144]/log(6)[36]=log(6)[144]/2, így

=-log(6)[2]+log(6)[144]/2 /közös nevező

=(-2log(6)[2]+log(6)[144])/2 /3. azonosság

=(log(6)[2^(-2)]+log(6)[144])/2

=(log(6)[1/4]+log(6)[144])/2 /1. azonosság: log(a)[b]+log(a)[c]=log(a)[b*c]

=(log(6)[144*1/4])/2=log(6)[36]/2=2/2=1.

Hm. Ne a képletet magold be, mert nem fog menni.

\log_{eredeti}x=\frac{\log_{új}x}{\log_{új}eredeti} a képlet, de egyszerűbb megjegyezni, honnan kapod meg.