Egy háromlábú asztal lapja fél m^2 területű szabájos háromszöglap. Legalább mekkora az átmérője az annak a kör alakú terítőnek, amelyik teljesen lefedi az asztallapot?

Van egy háromszög asztalom, ezt le kell teríteni egy terítővel, amely teljesen fedi. Vagyis a terítőnek LEGALÁBB A HÁROMSZÖG KÖRÜLÍRHATÓ KÖRÉNEK kell lennie, ekkor a csúcsok "pont takarva" vannak.

Tehát a feladatod, hogy a területből kiszámold a háromszög oldalát, majd az oldalból meghatározd a körülírt kör sugarát.

szabályos háromszög területe:

T = a * b * sin(gamma) = a^2 * sin(60°)

Ebből megkapod az oldalát a szab.3szögnek.

a = gyök(T / sin(60))

Cosinus tételből kijön:

a / cos (alpha) = b / cos(beta) = c / cos(gamma) = 2R, ahol R a háromszög köré írható kör sugara.

[link]

R = a / sin(60) = gyök(T / sin(60)) / sin(60)

Elírtam bocsi!

Kimaradt a "/ 2"

szabályos háromszög területe:

T = a * b * sin(gamma) / 2 = a^2 * sin(60°) / / 2

Ebből megkapod az oldalát a szab.3szögnek.

a = gyök(2T / sin(60))

Cosinus tételből kijön:

a / cos (alpha) = b / cos(beta) = c / cos(gamma) = 2R, ahol R a háromszög köré írható kör sugara.

[link]

R = a / sin(60) = gyök(2T / sin(60)) / sin(60)

*szabályos

Kérdés másképp: mekkora a fél négyzetméter területű szabályos háromszög köré írt körének az átmérője?

Tudjuk, hogy az a oldalhosszú szabályos háromszög területe a^2*√3/4, vagyis az egyenlet:

0,5=a^2*√3/4 /:(√3/4)

2/√3=a^2, innen

a=√(2/√3)=~1,075

Rajzoljunk egy szabályos háromszöget, jelöljük ki rajta a forgásközéppontját, majd ezt kössük össze a csúcsokkal, ekkor gyakorlatilag a köré írt kör sugarait húztuk be. A sugarak a háromszöget 3 kisebb háromszögre bontják, ahol a középponti szög 120°, mivel a három háromszög középponti szöge összesen 360°-ot tesz ki (mivel önmagába forgatva egy kört kapnánk, aminek a középponti szöge 360°). Egyenlő szárú háromszögek is, mivel a köré írt kör sugarai a háromszög 2 oldala, azok pedig egyenlőek. Koszinusztétellel vagy "trükkel" kiszámolható:

Koszinusztételnél: c=√(2/√3), a=b=r, gamma=120°, ekkor egy egyismeretlenes egyenletet kapsz.

"Trükkel": húzzuk be a magasságvonalat, ekkor két derékszögű háromszöget kapunk, ahol a két befogó a magasságvonal és a "nagy" háromszög oldalának fele, átfogója a "nagy" háromszög köré írt körének sugara, két szöge 60° (mivel az egyenlő szárú háromszög magasságvonala felezi a szöget) és 30° (mivel tetszőleges háromszög belső szögeinek összege 180°, így 180°=90°+60°+30°). Mivel az egyik befogó adott és az átmérőt akarjuk kiszámolni, ezért szinusszal vagy koszinusszal számolhatunk:

sin(60°)=√(2/√3)/r, innen

r=√(2/√3)/sin(60°)=√(2/√3)/(√3/2)=√((2/√3)/(√3/2))=√((2/√3)*(2/√3)=√(2/√3)^2=2/√3=2*√3/3=~1,1547

Tehát a kör alakú asztalterítő átmérője 4*√3/3=~2,3095 cm.

Az a képlet, amit én megadtam, az a szabályos háromszög területképlete, ami kiszámolható a szinuszos területképlettel is:

a*a*sin(60°)/2=

Tudjuk, hogy sin(60°)=√3/2, ezért

=(a*a*√3/2)/2=a^2*√3/4.

Érthető?

a háromszög oldalának értéke pozitív.

cos(60°) potitív

lehet radiában van a géped és nem fokban, bár a 30°, 45°, 60°, 90° szögfüggvényeinek értékét illik fejből tudni (ha matekkal foglalkozol).

60° = pi / 3 = 1,0471975512

cos(60°) = cos(pi / 3) = 0,5