Egy téglalap átlója eggyel nagyobb mint az egyik oldala és hárommal nagyobb mint a másik oldal kétszerese. Mekkora a téglalap területe és kerülete?

Nevezzük el az egyik oldalt a-nak, ekkor az átló a+1. Ha a harmadik oldalt elnevezzük b-nek, akkor felírható ez az egyenlet:

a+1-3=2b (mivel az átló 3-mal nagyobb az oldal kétszeresénél, ezért 3-at levonva az egyenlet két oldala egyenlő lesz), innen fejezzük ki b-t:

(a-2)/2=b, tehát a másik oldal (a-2)/2 hosszú.

Tudjuk, hogy a téglalap két oldala és az átló derékszögű háromszöget alkotnak, ahol az átfogó az átló, a befogók a téglalap oldalai. Erre a háromszögre felírható a Pitagorasz-tétel: a befogók (x és y) négyzetének összege egyenlő az átfogó (z) négyzetével, vagyis

x^2+y^2=z^2

Esetünkben x=a, y=(a-2)/2, z=a+1, tehát

a^2+((a-2)/2)^2=(a+1)^2 /kibontjuk a zárójeleket

a^2+(a^2-4a+4)/4=a^2+2a+1 /*4

4a^2+a^2-4a+4=4a^2+8a+4 /összevonás

5a^2-4a+4=4a^2+8a+4 /-4a^2-8a-4

a^2-12a=0 /kiemelünk a-t

a(a-12)=0

A bal oldalon szorzat van, és a szorzat értéke csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0, tehát vagy

a=0, ami nem lehet, mert a egy téglalap oldala volt (egyébként a felírt tétel kijön rá: 0^2+1^2=(-2/2)^2 igaz, de a 0 és a -1 nem lehet egy háromszög oldala), vagy

a-12=0-ra a=12, ekkor az egyik oldal 12 egység, az átfogó 13 egység, a másik oldal 5 egység, visszahelyettesítve:

12^2+5^2=144+24=169=13^2, tehát ez jó megoldás.

Téglalap területe: két szomszédos oldal szorzata, vagyis 12*5=60 egység^2

Téglalap kerülete: az oldalak összege: 5+12+5+12=34 egység.