Vizsgálja meg, hogy a következ ő függvényeknek van-e széls ő értékük, s ha van, melyek azok? Egyben határozza meg azokat az intervallumokat is, amelyeken a függvény monoton! f (x) = x-1 / x+1 Ezt hogy oldom meg?

Nem tudom, hogy ez neked hol feladat; ha tanultál deriválni (és táblázatot rajzolni), akkor úgy, ha nem, akkor ábrázolod és meglátod.

Deriválással: f'(x)=((x-1)/(x+1))'=((x-1)*(1/(x+1))'

Szorzat deriváltja: (f(x)*g(x))'=f(x)'*g(x)+f(x)*g(x)', itt f(x)=x-1, g(x)=1/(x+1), így a derivált:

(x-1)'*(1/(x+1))+(x-1)*(1/(x+1))'

Az első tag egy polinom: tetszőleges x^k (ahol k egész) deriváltja k*x^(k-1), vagyis a hatványkitevő "lejön" szorzónak, a hatványt pedig 1-gyel csökkentjük. Ennek a deriváltja (x-1)'=x'+(-1)' (mivel a deriváltösszeg szétbontható a tagok deriváltjára) =1+0=1 (konstans deriváltja 0, a képlet szerint (k*x^0)=0*k*x^(-1)=0)

A második tagot írjuk át így: 1/(x+1)=(x+1)^(-1). Igaz ez nem egy polinom, de erre is kiterjeszthető a fenti képlet, vagyis a képlet alapján deriválhatunk. Mivel ez egy összetett függvény, ezért a láncszabályt kell alkalmaznunk, lényege:

1. a "külső" függvény szerint deriválunk; az a külső függvény, amit ha ezt kiszámolnád, akkor utoljára lépnél meg. Esetünkben először összeadnád a két számot, majd hatványoznál, ezért a külső függvény a hatvány lesz.

2. ha ezzel megvagyunk, a belső függvényt változatlanul leírjuk, ellátjuk deriváltjellel és a már derivált taghoz hozzászorozzuk, esetünkben:

((x+1)^(-1))'=-1(x+1)^(-2)*(x+1)'=-1(x+1)^(-2)*1=-1(x+1)^(-2).

Gyakorlatilag a feladat pepecsmunka részével kész vagyunk. Tudjuk, hogy egy függvénynek csak ott lehet szélsőértéke, ahol vagy a derivált egyenlő 0-val, vagy nem differenciálható. Ez a függvény x=-1-nél nincs értelmezve, vagyis ott megszakad, tehát ott nem differenciálható, ez lesz az egyik szélsőértékjelölt. A többihez úgy jutunk el, ha az újonnan kapott függvényt egyenlővé tesszük 0-val:

-1(x+1)^(-2)=0, ezt kell megoldanunk.

-1(x+1)^(-2)=0 /írjuk vissza törtalakba

-1/(x+1)^2=0

Mivel -1 nem egyenlő 0-val, ezért ennek az egyenletnek nem lesz megoldása. Vagyis csak x=-1-ben lehet szélsőértéke. Szélsőértéket úgy számoljuk, hogy a kapott szélsőértékjelölteket visszaírjuk az eredeti egyenletbe. Mivel ott nincs értelmezve a függvény, ezért meg kell néznünk a függvény jobb és bal oldali határértékét a -1 pontban.

Jobb oldali határérték: lim(x->-1+)(x-1)/(x+1). Ez egy valami/0 alakú tört, és mint általában olyan, vagy végtelenhez vagy -végtelenhez fog tartani. Már csak a tört előjele a kérdés. Az biztos, hogy (-1-hez nagyon, de nagyon közel álló szám, de -1-nél nagyobb)-1 előjele negatív. A nevező előjele pozitív lesz, mivel a (-1-hez nagyon, de nagyon közel álló szám, de -1-nél nagyobb)+1 nagyobb lesz, mint 0, például -0,9999999999998+1 pozitív. Tehát lim(x->-1+)(x-1)/(x+1)=-végtelen.

Ugyanez a gondolatmenet kell a bal oldali határérték kiszámításához is, ott viszont már a nevező is negatív lesz, ezért a bal oldali határérték végtelenhez fog tartani. Mivel a két oldali határérték nem egyenlő, ezért -1-ben nincs határértéke a függvénynek. Summa summárum, a függvénynek nincs szélsőértéke.

Monotonitás: hogy ezt megtudjuk, érdemes a függvény konvexitását vizsgálni, először deriválnunk kell a függvény deriváltját (vagyis a függvény 2. deriváltjára van szükségünk):

(-1(x+1)^(-2))'=(-2)(-1)*(x+1)^(-3)*(x+1)'=2*(x+1)^(-3)

Ahol a függvény második deriváltja negatív, ott a függvény konkáv, ahol pozitív, ott konvex, ahol 0, ott inflexiós pont van (vagyis abban a pontban vált a függvény konvexből konkávba vagy fordítva), szükségképp a két inflexiós pont között monoton a függvény. Nézzük meg, hogy hol kisebb vagy hol nagyobb, mint 0, vagy vele egyenlő a második derivált:

2*(x+1)^(-3)>0 /átírjuk törtalakba

2/(x+1)^3>0

Innen könnyen látható, hogy ha x>-1, akkor pozitív, tehát konkáv, ha x<-1, akkor negatív, tehát konvex, 0-val sose lesz egyenlő, így nincs inflexiós pont.

Ez azt jelenti, hogy a (-végtelen;-1) és a (-1;+végtelen) intervallumokon a függvény monoton.

(Megjegyzés: ez a függvény lerajzolásával sokkal hamarabb ment volna.)