Tudva, hogy 0, x (y) (egy szám) + 0, y (x) (egy szám) egy racionális szám négyzete, határozzuk meg, az x és y nullától különböző számjegyek értékét?

nem teljesen érthető a kérdés...

mi ez a zárójelezés? kész káosz az egész. x(y) azt jelenti, hogy x egy függvény? és akkor y a saját függvénye? nem teljesen értem, pláne az utána következő (egy szám)-ot. és miért van vessző a nulla után?

Ha jól értelmezem; az egyik kérdésnél olvastam, hogy Romániában a végtelen szakaszos tizedestörtek végtelen részét zárójellel jelölik, amit mi ponttal szoktunk, például 1/3=0,3˙, azt ők így jelölik: 1/3=0,(3), tehát talán az lehet a feladat, hogy van két ilyen alakú számunk, ennek a kettőnek az összege egy racionális szám négyzete, tehát 0,xy˙+0,yx˙=k^2, ahol k pozitív racionális, x és y egyjegyű pozitívak.

Szerintem bontsuk két esetre a feladatot:

1. eset: legyen 0<a=x+y<=9, ekkor a két szám összege így néz ki: 0,(a) (vagy 0,a˙ a mi jelölésrendszerünkben) alakú a két szám összege. Írjuk át ezt a számot két egész szám hányadosaként. Legyen g=0,(a), akkor 10g=a,(a), ekkor felírhatjuk ezt az egyenletet: 10g-g=a,(a)-0,(a)=a, vagyis 9g=a, innen g=a/9, tehát a két szám összege a/9 alakú, ez akkor lesz négyzetszám, ha a négyzetszám. Mivel az a szám két egész szám összegeként lett definiálva, ezért annak is szükségképp egésznek kell lennie, ezért a lehetséges értékei 1, 4, és 9. Nagyobb szám nem lehet, mert 0,valami+0,valami összege nem lehet 1-nél nagyobb, és ha a>9, akkor a/9>1. Tehát x és y lehetséges értékei: (x;y)={(1;3);(2;2);(3;1);(1;8);(2;7);(3;6);(4;5);(5;4);(6;3);(7;2);(8;1)}, ha 0<x+y<=9. Az 1. eset kész.

2. eset. legyen 10<=b=x+y<=18, azért 18, mert az a 9+9-cel jön össze, ennél nagyobbhoz úgy jutnánk, ha x és/vagy y legalább 10 lenne, ami nem lehet, mert ezek számjegyek. Nézzük meg, hogy fog a két szám összege kinézni, például ha x=5 és y=6, akkor 0,5(6)+0,6(5)=1,(2), ha x=4 és y=9, akkor 0,4(9)+0,9(4)=1,(4). Ez így furán nézhet ki, mivel a "legkisebb" helyiértékre 1-gyel kisebb számnak kellene kerülnie, de mivel ezek végtelen szakaszos tizedestörtek, ezért nincs "legkisebb" helyiérték, így mindenhova ugyanaz kerül. Észrevehetőek az összefüggések:

1. a két szám összege mindig nagyobb 1-nél, tehát 1,valami alakú

2. a tizedhelyekre x és y összegénél 1-gyel nagyobb szám kerül, tehát x+y+1=b+1 számok kerülnek.

Tehát a két szám összege 1,(b+1) alakú. Ez a jelölés így igen hülyén néz ki, ezért legyen b+1=c, így a szám 1,(c) alakú lesz. Ugyanúgy járunk el mint az előbb. Legyen h=1,(c), ekkor 10h=1c,(c), ekkor a két szám különbsége 10h-h=1c,(c)-1(c)=1(c-1), tehát 9h=1(c-1), vagyis h=1(c-1)/9. Ez a szám is akkor lesz csak négyzetszám, ha 1(c-1) négyzetszám. 1 olyan kétjegyű négyzetszám van, ahol a tízesek helyén 1-es áll, ez pedig a 16, vagyis 1(c-1)=16, innen c-1=6, tehát c=7, ez azt jelenti, hogy a számunk az 1,(7), tehát 1,(7)=0,x(y)+0,y(x), ebből az látszik, hogy x+y=16, mivel az 1 egész csak így kerülhet előre, utána a 6-oshoz a "mögötte álló" számok összegéből még kap 1-et, úgy lesz 7 (ez így lehet, hogy érthetetlen, máshogy nem tudom elmagyarázni). A lényeg, hogy x+y=16, tehát x és y lehetséges értékei: (x;y)={(7;9);(8;8);(9;7)}.

A két eset megoldásait összevonva: (x;y)={(1;3);(2;2);(3;1);(1;8);(2;7);(3;6);(4;5);(5;4);(6;3);(7;2);(8;1);(7;9);(8;8);(9;7)}

Huhh, örülök, hogy a végére jutottam, és remélem, hogy ez volt a feladat, mert így visszanézve ez egy szép feladat volt, még inkább, hogy minden érthető belőle. Ha valami nem tiszta, kérdezz! :)

(Építő jellegű módosítást elfogadok!)

2-nek

Igen, ez volt a feladat, már megoldottam én is.Tehát, felírható, hogy: (xy-x)/90+(yx-y)/90=k^2

xy=10x+y

yx=10y+x

Akkor: (10x+y-x)/90+(10y+x-y)/90=(10x+10y)/90=

=(x+y)/9

Ebből következik, hogy x+y tljes négyzet kell legyen (a nevező teljes négyzet)

x+y nem lehet 1, mert akkor valamelyik szám értéke 0.

x+y nem lehet 9, mert akkor k nem racionális.

Marad a 4. Tehát x+y=4.

"x+y nem lehet 9, mert akkor k nem racionális."

Ezt kifejtenéd?

Ez egy orbitális baromság :D Q: racionális számok halmaza: olyan számok, amik felírhatók két egész szám hányadosaként. Ha a j szám természetes, akkor felírható így: j/1, vagyis racionális is, tehát minden természetes szám egyben racionális is.

De nézd meg, hogy működik-e x+y=9-re. Legyen például x=5, y=4, ekkor 0,5(4)+0,4(5)=0,(9), persze ez így ilyen formában tényleg nem egyenlő 1-gyel. Írjuk át ezt is tizedestört alakba a tanult módszerrel: legyen h=0,(9), ekkor 10h-h=9, 9h=9, vagyis h=9/9=1. Ez így nagyon morbid, elismerem, hogy 0,(9)=1, de a matematikusok az egész számokat kétféleképpen definiálják: az m egész számnak két alakja van, egyrészt m, másrészt (m-1),(9), például az 5,(9)=6. Ezt a legkönnyebben így lehet megérteni: vegyük példának az 1/3+1/3+1/3 összeget, erről tudjuk, hogy =3/3=1, de ha elvégezzük az osztásokat: 0,(3)+0(3)+0(3)=0,(9). Mivel egy összeget kétféleképpen számoltunk ezért ugyanazt az eredményt kellett kapjuk, vagyis 1=0,(9) (másként nézve: lim(0,(9))=1, ehhez felsőbb szintű matek szükséges (határérték-számítás)).