Az x, y és z természetes számok egyenesen arányosak az a, b, c prímszámokkal. Tudva, hogy a<b<c, a+b+c=10 és x+y+z=100, számítsuk ki a P=x^2011+y^2011+z^2011 szám utolsó 2012 számjegyének összegét?

a, b, c-t egyszerűen "próbálgatással" ki lehet találni.

x, y, z ezekből számolható

Ha ez megvan, a hatványozás már könnyű lesz.

a < b < c és

a + b + c = 10

=>

a = 2, b = 3, c = 5, más lehetőség nincs.

x/2 = y/3 = z/5

=>

3x - 2y = 0

5x - 2z = 0

x + y + z = 100 - egyenletrendszert kell megoldanod.

...

Innen már nem tudom a lépéseket.

hjam1029 válasza:

nah és a 1+2+7? vagy

1+3+6?

3x - 2y = 0

5x - 2z = 0

x + y + z = 100

...

=>

x = 100 - y - z

5y + 3z = 300

5y + 7z = 500

=>

4z = 200 => z = 50

5y + 150 = 300 =>

=>

5y = 150 => y = 30

=> x = 100 - 50 - 30 = 20

...

Ellenőrzés:

20/2 = 30/3 = 50/5

...

x^2011 = 2^2011 * 10^2011

y^2011 = 3^2011 * 10^2011

z^2011 = 5^2011 * 10^2011

...

Látható, hogy az utolsó 2011 számjegy összege 0-lesz.

=>

2^2011 + 3^2011 + 5^2011 utolsó számjegyére vagyunk kíváncsiak.

Most megnézzük, hogy 2, 3, 5 - hatványai mivel végződhetnek:

2^1 végződik 2

2^2 végződik 4

2^3 végződik 8

2^4 végződik 6

2^5 végződik 2

Létható, hogy minden negyedik hatvány azonosan végződik.

2^2011 végződése:

2011 / 4 maradéka 3 => 2^2011 8-al végződik.

...

3^1 végződése 3

3^2 végződése 9

3^3 végződése 1

3^4 végződése 3

=> itt minden harmadik hatvány egyforma

=>

3^2011 végződése: 1 =>

3^2011 3-al végződik

...

5^1 végződése 5

5^2 végződése 5

=>

5^2011 végződése is 5

...

=>

2^2011 + 3^2011 + 5^2011 végződése:

egyenlő (8 + 3 + 5) végződésével =>

2^2011 + 3^2011 + 5^2011 végződése:

16 végződése vagyis 6

...

Értetted?

Prímszámoknak tekintjük azokat a pozitív egész számokat, amelyeknek 2 darab pozitív egész szám osztója van: 1, és önmaga. Az 1-nek csak egy darab osztója van.

...