Hogyan kell megoldani ezt a feladatot?

Először is behelyettesítés, mert tudni kell, hogy milyen típusú határértékről van szó. Számláló: 2^3-8=8-8=0, nevező: 2^4-16=16-16=0, tehát 0/0, ami kritikus határérték.

I. Bernoulli-L'Hospital szabállyal

Deriváljuk külön a számlálót és a nevezőt: lim x-->2 3*x^2/4*x^3. Ismét behelyettesítés jön, hátha véges értéket ad. Valóban, 3*2^2=3*4=12, 4*2^3=4*8=32, tehát 12/32=3/8 a keresett határérték.

II. Szorzattá bontással

Számláló: x^3-8=x^3-2^3=(x-2)*(x^2+2*x+4), nevező: x^4-16=(x^2)^2-4^2=(x^2+4)*(x^2-4)=(x^2+4)*(x+2)*(x-2). Világos, hogy (x-2)-vel lehet egyszerűsíteni, marad az, hogy lim x-->2 (x^2+2*x+4)/(x^2+4)*(x+2). Behelyettesítéssel ismét (2^2+2*2+4)/(2^2+4)*(2+2)=12/32=3/8 adódik.

A két módszer teljesen egyenrangú, és nyilván azonos eredmény ad. Ilyen esetekben azonban a deriválós B-L'H sokkal egyszerűbb és gyorsabb :)