Hogyan kell megoldani az alábbi matekfeladatot?

1. Legyenek a téglatest élei: a<b<c, ekkor a*b*c=120cm^3. Tudjuk, hogy a téglatest oldalai téglalapok, amiknek a területe az egy csúcsból induló 2 él szorzata, ezeknek tudjuk az arányait. Mivel a*b<a*c<b*c (szerintem ezt nem kell külön magyaráznom), ezért fel tudjuk írni az arányaikat egy háromismeretlenes egyenletrendszerbe:

I. (a*b)/(a*c)=3/5 }

II. (a*b)/(b*c)=3/15}

III. (a*c)/(b*c)=5/15}

Mindegyik egyenletben tudunk egyszerűsíteni:

I. b/c=3/5}

II. a/c=1/5}

III. c/b=5/3}

Látható, hogy az I. és a III. ugyanaz az egyenlet. Bizonyított tétel, hogy egy (lineáris) egyenletrendszernek akkor lehet csak egyértelmű megoldása, ha kevesebb ismeretlen van, mint amennyi egyenlet (persze azt az esetet nem számoljuk, amikor több egyenlet is egyenlő, mint most az I és a III, ezekből elég 1-et meghagyni). Szerencsére nekünk van még egy összefüggésünk, amit bevehetünk az egyenletrendszerbe, mégpedig a téglatest térfogatára adott képlet, így

I. b/c=3/5 }

II. a/c=1/5 }

III. a*b*c=120}

lesz az egyenletrendszer. Ennek kiszámolását pedig Rád bízom, nem egy túl bonyolult feladat.

2. Tudjuk a téglatest egyik élét: c=15, így a test térfogata a*b*15=900, vagyis a*b=60. Az alap kerülete 2(a+b)=56, vagyis a+b=28, ezekre már felírható az egyenletrendszer:

I. a*b=60}

II. a+b=28}

Ugyanúgy kell megoldani, mint az előzőt, remélem ez is menni fog! ;)