Hogyan kell bebizonyítani a következő állítást?

Tegyük fel, hogy

(2+5^(1/2))^(1/3)+(2-5^(1/2))^(1/3)=x.

Ekkor

x^3=

=2+gyök5+3*(2+5^(1/2))^(2/3)*(2-5^(1/2))^(1/3)+3*(2+5^(1/2))^(1/3)*(2-5^(1/2))^(2/3)+2-gyök5=

=4+3*[(2+5^(1/2))^(1/3)*(2-5^(1/2))^(1/3)*((2+5^(1/2))^(1/3)+(2-5^(1/2))^(1/3))]=

=4+3*[köbgyök((2+gyök5)*(2-gyök5))*x]=

=4+3*(-1*x)=

=4-3x.

Tehát

x^3+3x-4=0.

Ennek egyetlen megoldása 1. Ezt a gyököt ugyanis "meg lehet sejteni" (hiszen megmondta a feladat), és ennek segítségével már szorzattá lehet alakítani:

(x-1)(x^2+x+4)=0,

a második tényezőnél pedig a diszkrimináns negatív, tehát nincs további gyök. Tehát x=1.

Úgy látom, más is ezt írta:

[link]

Vagy nem teljesen? Majd átböngészem azt is.