Valaki segítene?

Legyen a BC oldalhoz tartozó magasság talppontja T. Legyen a magasság keresett hossza m, valamint a BT szakasz hossza x.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az ABT illetve az ACT háromszögekre:

13^2=m^2+x^2

14^2=m^2+(15-x)^2.

Ebben az egyenletrendszerben két ismeretlenre van két egyenlet, egyértelműen meg lehet oldani.

(A két egyenlet különbségét tekintve m kiesik, innen megvan az x, és utána azt behelyettesítve az elsőbe megkapjuk m-et is.)

Magasság-tétel, befogó-tétel, Pithagorasz-tétel alkalmazása

vagy, ha szellemesebb akarsz lenni, akkor számítsd ki a háromszög területét Héron-képlettel, és az alap*magasság/2 -vel pedig kiszámolhatod a magasságot. :)

Tehát a háromszög oldalai a klasszikus jelölés szerint:

a = 15

b = 14

c = 13

Az előző válaszoló egyetlen jó tippje a Heron képlettel számított terület és az oldalakkal történő számítás említése.

Mivel nem derékszögű háromszögről van szó, a befogó-tétel itt nem alkalmazható, hasonlóképp a klasszikus magasság-tétel sem jöhet szóba.

Van viszont egy általános magasság tétel. A Wikipédián ezen a néven megtalálható a leírása.

Első ránézésre igencsak rusnya jószág az ott látható képlet, de mint a szövegből később kiderül, végeredményben a Heron képletet és az oldalhosszot használja.

Ezt a képletet átfazonírozva és két, a háromszögre jellemző konstanst bevezetve, egy egyszerűbb összefüggés adódik.

A két konstans a 'b' oldalhoz tartozó magasság esetén:

ε(bb) = (a + c)/b

ε(bk) = (a - c)/b

Az ε utáni zárójelben az első betű a keresett magassághoz tartozó oldalt jelzi, a második a 'belső' illetve 'külső' szóra utal. A 'belső' illetve ' külső' utalás a szóban forgó oldalhoz (itt a 'b' oldal) tartozó belső ill. külső szögfelező osztó tényezőjének a reciproka.

Ezekkel a keresett magasság

m(b) = (b/2)*sqrt[ε(bb)² - 1][1 - ε(bk)²]

Általános formában

m(i) = (i/2)*sqrt[ε(ib)² - 1][1 - ε(ik)²]

ahol

i € (a,b,c)

Az 'i' helyére a megfelelő oldalt és a konstansokat behelyettesítve számítható a keresett magasság.

Az ε képletében a definíció szerint a nevezőben a szóban forgó oldal, a számlálójában a maradék két oldal összege (ε(b)) ill. különbsége (ε(k)) szerepel.

Pl az 'a' oldal esetén:

ε(ab) = (b + c)/a

ε(ak) = (b - c)/a

Még annyit: az ε utáni zárójelben levő jelek alsó indexként értendők, csak ebben a gagyi szövegszerkesztőben ez a fajta megjelenítés nem működik. :-(

Elismerem, hogy így első nekifutásra elég zavaros a dolog, de ez egy saját használatra gyártott rendszer része. Az érdekessége az, hogy kapcsolatot teremt a háromszög magassága és szögfelezője közt.

Egy régebbi feladat, ahonnan az egész indult:

[link]

Szerintem a kérdező sem gondolta, hogy lehet kapcsolat, mikor a kérdésben a szögfelezőt hozta fel példaként.

Ha valakit érdekel a szisztémám, szívesen állok rendelkezésére. :-)

DeeDee

*********

Bocs, ez a jó ábra:

[link]

DeeDee

*******