Szorzattá alakítás. Nem értem, itt mit kell csinálni?

először x-et kiemeled, ekkor lesz x(12xnégyzet-8x+4), aztán a zárójelben lévőt továbbalakítva: 12xnégyzet-8x+4=(4x-2)négyzet-4xnégyzet-8x=(4x-2)négyzet-x(4x-2), aztán kiemeled 4x-2-őt és lesz: (4x-2)(4x-2-x)=(4x-2)(3x-2)

Ez ugye még az elején meg volt x-szel szorozva, tehát a vége: x(4x-2)(3x-2)

12x³ - 8x² + 4x

Először is ki lehet emelni 4x-et:

4x·(3x² - 2x + 1)

Ez már szorzat, de jó lenne továbbmenni. A zárójelben lévő másodfokú kifejezést kellene két elsőfokú szorzatává alakítani. Erre két módszer is van:

a) Teljes négyzetté alakítás: (néha ez a bonyolultabb, most is)

Ezt kellene tehát szorzattá alakítanunk:

3x² - 2x + 1

Nézegetni kell kicsit, hogy minek a négyzete néz ki hasonlóan. A 3x² miatt lesz benne √3·x, tehát ilyesmi lesz:

(√3·x - valami)²

Ha ezt kifejtjük, ez lesz:

3x² - 2·√3·x·valami + valami²

Ha ezt összehasonlítod a kívánt kifejezéssel, akkor azt látod, hogy ha a valami=1/√3, akkor a középső (elsőfokú) tag éppen 2x lesz:

(√3·x - 1/√3)² = 3x² - 2x + 1/3

Ez nem pontosan ugyanaz, mint a keresett kifejezés, de ha hozzáadunk 2/3-ot, akkor már pont annyi lesz:

(√3·x - 1/√3)² + 2/3

Ezt a formát nevezik teljes négyzetnek.

És most megakadtunk. Ha -2/3 lenne, vagy valami más szám lenne kivonva, akkor lehetne szorzattá alakítani a következő nevezetes azonosság felhsználásával:

a² - b² = (a+b)·(a-b)

de most nem kivonás van, hanem összeadás. Ez azt jelenti, hogy em lehet további szorzatot csinálni, marad annyi, hogy 4x-et ki lehetett emelni.

b) Megoldóképlet: (ez sokszor egyszerűbb, mint a teljes négyzetté alakítás, most is)

Csináljunk egyenletet a másodfokú kifejezésből:

3x² - 2x + 1 = 0

A megoldóképlettel számoljuk ki az x₁ és x₂ gyököket:

₂x₁ = (2 ± √(4-12))/6

A gyök alatt a diszkrimináns negatív, tehát nincs megoldása az egyenletnek. Ez azt is jelenti, hogy nem lehet szorzattá alakítani.

Ha a diszkrimináns pozitív lenne, akkor lennének az x₁ és x₂ gyökök, amikkel így lehetne szorzattá alakítani:

3·(x - x₁)·(x - x₂)

---

A többi feladatodnál biztos lesz olyan is, amihez kell ez az a) vagy b) módszer. Írd le, hogy mire jutsz vele, aztán segítek, ha elakadnál.

Az enyém valószínű jó, az első válaszoló ronthatta el. Mégpedig ott, amikor azt írta, hogy

12x² − 8x + 4 = (4x−2)² − 4x² − 8x

Itt nem −8x, hanem +8x kellett volna. De a folytatásban is van hiba, x(4x-2) nem azonos 4x²-8x-szel.

Ez a megoldási út is járható lenne egyébként, különbözik a válaszomban a) meg b) módszernek nevezettől. Viszont mivel intuíción alapul, ha nem jön pillanatnyilag az embernek az ihlet, akkor nehezen vezet eredményre. Ezért én inkább az a) vagy b) megoldásomon alapuló módszert javaslom továbbra is.