Hogyan kell megoldani ezeket a szöveges másodfokú feladatokat?

Első sokszög oldalainak száma: n, akkor a másodiké 20-n.

Első sokszög átlóinak száma: s, akkor a másodiké 79-s

Van egy képlet a konvex sokszög átlóinak számára: n(n-3)/2

Első sokszögnél: n(n-3)/2 = s, rendezed, 2s=n^2-3n

Második sokszögnél: (20-n)(20-n-3)/2=79-s, rendezve

(20-n)(17-n)=158-2s.

2s helyére beírod az n^2-3n-t, így már egyismeretlenes, másodfokú lesz, felbontod a zárójeleket, 0-ra rendezel és ráereszted a megoldóképletet!

Derékszögű háromszög területe= két befogó szorzata, azaz a*b, ami most 55. Innen: a=55/b

Pitagorasz tételből: a^2+b^2=221. a helyére 55/b-t kell írni, így egy ismeretlen marad:

(55/b)^2+b^2=221

3025/b^2 + b^2 = 221

Ez b^2-re nézve másodfokú lesz, a végeredményből gyöket vonsz. Csak a pozítivval kell foglalkozni egy háromszög esetén.

Egy kis tévedés:

"Derékszögű háromszög területe= két befogó szorzata, azaz a*b, ami most 55"

Helyesen

A derékszögű háromszög területe = két befogó szorzata osztva kettővel.

Ha ezzel számolsz, szép kerek számokat kapsz a befogók hosszára.

A harmadik feladathoz.

Szép kis feladat! :-)

Legyen

A, B - a gyümölcsök mennyisége [kg]

a, b - a gyümölcsök ára [Ft/kg]

Ezekkel a feladat a matematika nyelvére lefordítva

"...kétféle gyümölcsből vásároltunk összesen 875 Ft értékben"

A*a + B*b = 875

"...Az egyik típusú gyümölcs 50 FT-tal többe kerül, mint a másik."

b = a + 50

"Ha az összes pénzt a drágábbikra költöttük volna, akkor pontosan 4 kg-mal kevesebb gyümölcsünk lenne most."

b(A + B - 4) = 875

Tehát a három egyenlet

(1) A*a + B*b = 875

(2) b = a + 50

(3) b(A + B - 4) = 875

A probléma az, hogy csak három egyenletünk van a négy ismeretlenhez.

De a helyzet nem reménytelen. :-)

Az (1) és (3) egyenletekből

A (3)-ben felbontva a zárójelet

A*b + B*b - 4b = 875

Hozzávéve az (1) egyenletet

A*a + B*b = 875

Az elsőből kivonva a másodikat

A*b - A*a - 4b = 0

A(b - a) = 4b

Mivel a (2)-ből

b - a = 50

ezért

50A = 4b

amiből

A/b = 4/50

A/b = 2/25

A két mennyiség (A és b) valódi mennyisége ennek egész számszorosa (q) lehet úgy, hogy a hányadosuk nem változik, vagyis

A/b = 2q/25q

Vagyis írható, hogy a

számláló

A = 2q

a nevező

b = 25q

Ezek ismeretében a többi mennyiség

A (2) egyenletből

a = b - 50

behelyettesítve

a = 25q - 50

a = 25(q - 2)

Az (1) egyenletből B-t kifejezve

B = (875 - A*a)/b

behelyettesítve

B = [875 - 2q*25(q - 2)]/25q

Egyszerűsítés után

B = 35/q - 2(q - 2)

Ezzel q függvényében kifejeztük az ismeretlen mennyiségeket.

Összeszedve és sorba rendezve

(4) A = 2q

(5) a = 25(q - 2)

(6) B = 35/q - 2(q - 2)

(7) b = 25q

A q értékét kell még behatárolni.

Az (5) egyenletből látható, hogy q>2

Viszont a (6) egyenlet leszűkíti a tartományt, mert az egész számú megoldáshoz

q = 5

vagy

q = 7

lehet

Nincs más hátra, mint előre, lássuk a megoldásokat. :-)

q = 5

--------

A = 2*5

A = 10

======

a = 25(5 - 2) = 25*3

a = 75

=====

B = 37/5 - 2(5 - 2) = 7 - 6

B = 1

=====

b = 25*5

b = 125

======

q = 7 esetén a (6) egyenlet negatív értéket ad, így nem megoldás, tehát a q = 5 esetén adódó értékek adják a feladat egyetlen megoldását.

A válaszok a feladat kérdéseire

Mennyi gyümölcsöt vettünk?

A + B = 10 + 1 = 11 kg

Mennyibe kerülnek a gyümölcsök? (kg)

Az A gyümölcs ára

a = 75 Ft/kg

A B gyümölcs ára

b = 125 Ft/kg

A feltételek ellenőrzése

Az (1) egyenlet

10*75 + 1*125 = 875

A (2) egyenlet

125 = 75 + 50

A (3) egyenlet

125(10 + 1 - 4) = 125*7 = 875

vagy a feladat szövegét követve

875 Ft-ból a magasabb áron

875/125 = 7 kg gyümit vehetünk, ami 4-gyel kevesebb az össz mennyiségnél (11).

Jó étvágyat a gyümölcsökhöz. :-))

DeeDee

**********