Abszolútértékes egyenletben, amikor művelet van két abszolútérték között, összeadás vagy kivonás (de nemtudom, lehet lehetséges szorzás és összeadás is ebben az esetben (? ) ), miért kell?

|4x-9|+1 = 3x+2

Itt a bal oldalon az abszolút értékes tag legalább nulla, tehát a bal oldal legalább 1. Vagyis felírhatjuk ezt a kikötést:

3x+2 ≥ 1

(Vagyis ez még szigorúbb is annál, mint hogy 3x+2>0)

3x ≥ -2

x ≥ -2/3

A kikötésre azért lehet szükség, mert a végén a megoldások lehet, hogy ellentmondanak neki, és azokat ki kell dobni. Bár az a helyzet, hogy ha az abszolút érték miatti intervallumokat jól kezeli az ember, akkor ilyen kikötésre nincs szükség.

Na most a megoldás:

Az abszolút értéket el kellene hagyni, mert amíg ott van, addig nem igazán tudjuk megoldani. Kétféleképpen tudjuk elhagyni:

- ha a belseje pozitív, akkor simán elhagyhatjuk

- ha a belseje negatív, akkor mínusz eggyel szorozni kell, úgy hagyhatjuk el, hisz a negatív érték abszolút értéke pozitív lesz.

Az x különböző értékeinél vagy pozitív, vagy negatív lesz az abszolút érték belsejében lévő kifejezés, ezért különböző x intervallumokon máshogy kell dolgozni. Először meg kell határozni ezeket az intervallumokat. Akkor vált az intervallum, amikor éppen 0 a kifejezés értéke.

|4x-9|: itt tehát 4x-9=0 esetén van az intervallumok közötti határpont → x = 9/4

A két intervallum:

- az első -∞ és 9/4 között van, itt az absz.ért.jel belseje negatív

- a második 9/4 és +∞ között van, ott a belseje pozitív.

Ebben a két tartományban külön-külön meg kell oldani az egyenletet:

a) Első intervallum: x < 9/4

Ekkor az absz.ért.jel belsejében lévő kifejezés negatív, tehát az absz.érték megnegálja, amikor pozitívvá teszi. Vagyis úgy hagyhatjuk el a jelet, hogy mi negáljuk meg a kifejezést (mínusz 1-gyel szorozzuk):

-(4x-9) + 1 = 3x+2

-4x+9+1 = 3x+2

-7x = -8

x = 8/7

Ellenőriznünk kell, hogy ami kijött, tényleg a megfelelő intervallumba tartozik-e? Most igen, hisz 8/7 < 9/4. Tehát ez tényleg megoldás. Igaz az is rá, hogy x≥-2/3, OK.

b) Második intervallum: x ≥ 9/4

Ekkor az absz.ért.belseje pozitív. Maga az abszolút érték jel ilyenkor nem csinál semmit, simán elhagyható (pontosabban sima zárójelre cserélhető):

(4x-9) + 1 = 3x+2

x = 10

Ezt is ellenőrizni kell, 10 > 9/4, tehát rendben van, benne van az intervallumban. -2/3-nál is nagyobb persze...

----

Ha több abszolút értékes kifejezés (az egyszerűség kedvéért nevezzük ezentúl AÉK-nak őket) is van, akkor nem kettő, hanem több intervallum lesz, vagyis még több esetre esik a megoldás.

|x-4| - |3x+1| = 8

Az első AÉK-nak x=4-nél nulla az értéke, tehát ez egy intervallum-határpont lesz. (Ennek az egyik oldalán az AÉK értéke pozitív, a másikon negatív.) A második AÉK x = -1/3 esetén lesz nulla, tehát ez is intervallum-határ.

Sorbarakva tehát -1/3 és 4 a két intervallum-határ. Ezek 3 intervallumot határoznak meg:

            x < -1/3

-1/3 ≤ x < 4

   4   ≤ x

Érdemes a számegyenesre felrajzolni ezt a két pontot (-1/3 és 4), ott egyértelműen látszik a 3 intervallum.

Aztán ki kell számolni, hogy az egyes intervallumokon az egyes AÉK-k pozitívok vagy negatívok? A legegyszerűbb úgy csinálni, hogy kiválasztunk egyetlen értéket az intervallum közepéről, és megnézzük, hogy annál az x-nél milyen az AÉK.

1. intervallum egyik pontja x=-1.

AÉK1: (x-4)=(-1-4)=-5, negatív

AÉK2: (3x+1)=(3·(-1)+1)=-3+1=-2, negatív

2. intervallum egyik pontja x=0.

AÉK1: (x-4)=(0-4)=-4, negatív

AÉK2: (3x+1)=(3·0+1)=1, pozitív

3. intervallum egyik pontja x=5.

AÉK1: (x-4)=(5-4)=1, pozitív

AÉK2: (3x+1)=(3·5+1)=16, pozitív

A megoldásban lesz a) b) és c) eset, minden intervallumhoz egy eset. Amelyik AÉK az adott intervallumon pozitív, ott simán lecserélhető az abszolút érték jel kerek zárójelre, amelyik AÉK pedig negatív az intervallumon, azt meg meg kell szorozni mínusz eggyel.

Nem csinálom végig, remélem érthető a folytatás.

---

Megjegyzések:

- Az mindegy, hogy az intervallum határát melyik intervallumhoz teszi az ember. Ugyanis azon a ponton az AÉK értéke nulla, azt ha megszoroznánk mínusz eggyel, akkor is nulla maradna. Nem változik semmi.

- Az sem számít, hogy az AÉK-k össze vannak adva, vagy szorozva, vagy bármi. Csak az az érdekes, hogy milyen intervallumokat határoznak meg. Utána már amikor egyetlen intervallumon dolgozunk, és már elhagytuk az absz.érték jelet (simán vagy mínusz eggyel szorozva), akkor már egy egyszerű egyenletünk lett.