Anna azonos méretű piros és fehér négyzetekből hézagmentes téglalapot épit úgy, hogy a téglalap széle körben piros, közepe teljesen fehér. A piros és fehér négyzetek száma egyenlő, hány ilyen téglalap van?

Ha jól értem, akkor egy csíknyi széles piros van a szélén.

A téglalap x egység széles és y egység magas. Akkor van benne egyrészt x+x darab piros négyzet vízszintesen és y-2+y-2 darab függőlegesen. Ez összesen 2x+2y-4.

A területe x·y, vagyis ennek a fele lesz a piros:

x·y/2 = 2x+2y-4

Ezt az egyenletet kell megoldani az egész számok halmazán.

xy = 4x+4y-8

y(x-4) = 4x-8

y = 4(x-2)/(x-4)

4(x-2)/(x-4) egész kell legyen.

Vezessünk be egy új ismeretlent: z = x-4

y = 4·(z+2)/z

y = 4 + 8/z

Ennek kell egésznek lennie. Így már jól látszik, hogy z ilyen lehet:

z₁ = 1

z₂ = 2

z₃ = 4

z₄ = 8

A folytatást rád bízom...

Egy kérdés: a piros keret mindenütt azonos szélességű?

Ha igen, akkor aránylag egyszerű a megoldás, ha nem, akkor gubancos. :-)

Ha nem csak 1 vastag lehet a piros keret, hanem mondjuk d vastag, akkor így alakul:

vízszintesen x széles, d magas, alul-felül: 2xd

függőlegesen y-2d magas, d széles, jobbra-balra: 2(y-2d)d

xy/2 = 2xd + 2(y-2d)d

xy = 4xd +4yd - 8d²

xy - 4dy = 4dx - 8d²

y(x-4d) = 4d(x-2d)

y = 4d(x-2d)/(x-4d)

Ha z = x-4d:

y = 4d(z+2d)/z

y = 4d + 8d²/z

Vagyis z lehetséges értékei: 8d² osztói

Annyi megoldás van, ahány osztója van 8d²-nek. Ez d-től függ...

Az a gyanúm, hogy csak d=1 a kérdés... Az meg az előző válaszom.