Letudná vezetni valaki? bizonyícsd be hogy az A (7;-2) B (8;-5) C (3;-10) D (6;-1) egy körön vannak. írd fel az ABCDponton átmenő kör egyenletét.
Én inkább először felírom valamelyik 3 ponton átmenő kör egyenletét, aztán megnézem, hogy a negyedik pont is rajta van-e a körön:
A kör egyenlete általános esetben:
(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²
Ezt kielégíti mondjuk az A, B és C pont is:
(7-x₀)² + (-2-y₀)² = r²
(8-x₀)² + (-5-y₀)² = r²
(3-x₀)² + (-10-y₀)² = r²
Oldjuk meg:
Az r²-től meg lehet szabadulni kapásból:
(7-x₀)² + (-2-y₀)² = (8-x₀)² + (-5-y₀)²
(7-x₀)² + (-2-y₀)² = (3-x₀)² + (-10-y₀)²
Kifejtve:
49 - 14x₀ + x₀² + 4 + 4y₀ + y₀² = 64 - 16x₀ + x₀² + 25 + 10y₀ + y₀²
49 - 14x₀ + x₀² + 4 + 4y₀ + y₀² = 9 - 6x₀ + x₀² + 100 + 20y₀ + y₀²
A négyzetes tagok szerencsére kiesnek:
53 - 14x₀ + 4y₀ = 89 - 16x₀ + 10y₀
53 - 14x₀ + 4y₀ = 109 - 6x₀ + 20y₀
Összevonva amit lehet:
2x₀ - 6y₀ = 36
-8x₀ - 16y₀ = 56
Egyszerűsítve mindkettőt:
x₀ - 3y₀ = 18
-x₀ - 2y₀ = 7
A két egyenlet összege:
-5y₀ = 25 → y₀ = -5
Visszahelyettesítve y₀ értékét:
-x₀ + 10 = 7 → x₀ = 3
Az r pedig:
(7-3)² + (-2-(-5))² = r²
16+9 = r²
r = 5
Vagyis a kör egyenlete: (x-3)² + (y+5)² = 5²
Még ellenőrizni kell, hogy a D(6;-1) pont rajta van-e?
(6-3)² + (-1+5)² = 5²
3² + 4² = 5²
Ez valóban így van, tehát mind a 4 pont rajta van a körön.
Egy kicsit más megoldás:
Addig ugyanaz, hogy kiböksz közűlük 3 pontot és felírod a 3 ponton átmenő kör egyenletét, az jó lesz a negyediknek is.
1) a kör középpontja rajta van az AB felezőmerőlegesén is meg a BC felezőmerőlegesén is.
Ezeknek az egyenlete:
y = 1/3 * x -6
y = -x - 2
ezek metszéspontja:
(3,-5)
2) A (3,-5) pont távolsága könnyen ellenőrizhetően ugyanaz mind a négy ponttól: 5.
Vagyis a kör egyenlete:
(x-3)²+(y+5)² = 25
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!