Hogyan számolom ki egy normálvektorból és egy pontból az egyenes irányvektorát - alul részletesen?

A címben feltett kérdésre a válasz: Nem kell hozzá pont sem. A normálvektor meg az irányvektor egyszerűen merőlegesek egymásra, és egy vektorból a rá merőleges vektort könnyű gyártani: fel kell cserélni a két koordinátát, és az egyiket (bármelyiket) negálni (szóval a mínusz egyszeresét venni). Tehát mondjuk (1;5)-ből (5;-1) lesz vagy (-5;1). Mindkettő merőleges az (1;5)-re, csak az egyik az egyik oldalon, a másik a másikon.

Más:

Először kis olvasnivaló, aztán mutatok majd példát is.

Ha az irányvektor mondjuk (3;5) az azt jelenti, hogy ha az egyenesen valahol van egy pont, és elmegyünk tőle jobbra 3-at, aztán felfelé 5-öt, akkor megint olyan pontba jutunk, ami az egyenesen van. Persze ha 2·3-at megyünk jobbra és 2·5-öt felfelé, akkor is visszajutunk az egyenesre, stb.

Ebből jön az, hogy hogyan lehet felírni az egyenes egyenletét, ha adott egy pontja P(x₀;y₀) és az irányvektora (a;b).

Ekkor az egyenes egy tetszőleges pontjára, ami (x;y), igaz ez:

x₀ + n·a = x           (jobbra megyünk n-szer a-t)

y₀ + n·b = y           (felfelé megyünk n-szer b-t)

vagyis

n·a = x-x₀

n·b = y-y₀

Ebből kifejezhető az n:

n = (x-x₀)/a

és ezt beírva a másodikba már az egyenes egyenletét kapjuk:

b·(x-x₀)/a = y-y₀

Vagy szokásosabb alakban:

y-y₀ = (b/a)·(x-x₀)

Illetve ha még alakítunk rajta kicsit, ez jön ki:

a·y - a·y₀ = b·x - b·x₀

b·x₀ - a·y₀ = b·x - a·y

Ebből látszik, hogy miért érdekes a normálvektor. Ebben az utolsó egyenletben a (b;-a) számpáros látszik mindkét oldalon. Az meg éppen a normálvektor, hisz a koordináták fel vannak cserélve, és az egyik a mínusz egyszeres.

Vagyis ha van egy normálvektor: n(nx;ny) meg egy pont: P(x₀;y₀), akkor nagyon könnyen megjegyezhető az, hogy hogyan írjuk fel az egyenes egyenletét:

nx·x + ny·y = nx·x₀ +ny·y₀

Példa:

Az n(3;8) normálvektorú egyenes egyenlete, ami átmegy a P(10;12) ponton:

3x + 8y = 3·10 + 8·12 = 126

A te példád:

Nem pontosan fogalmaztad meg a példát, átírom kicsit. Először a második példád:

Van egy egyenes, ami átmegy a P(5;2) ponton, irányvektora pedig v(2;3). Erre az egyenesre merőleges egyenes egyenletét kell felírni.

Az egyenes egyenletét legegyszerűbb úgy felírni, ha ismert egy pontja és a az egyenes normálvektora. Ha van két egyenes, amik egymásra merőlegesek, akkor az egyenesek irányvektorai merőlegesek egymásra. Vagyis az egyik irányvektora pont ugyanaz, mint a másik normálvektora. Szóval most a v(2;3) vektor éppen normálvektora a keresett egyenesnek. Az egyenlet tehát:

2x + 3y = 2·5 + 3·2 = 16

Ha a feladatban normálvektor van:

Van egy egyenes, ami átmegy a P(5;2) ponton, normálvektora pedig n(2;3). Erre az egyenesre merőleges egyenes egyenletét kell felírni.

A merőleges egyenesnek a normálvektora az n vektorra merőleges lesz: (3;-2). Ezzel pedig az egyenes:

3x - 2y = 3·5 - 2·2 = 11